Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny
: 18 sie 2017, o 10:26
Mam następujące twierdzenie do udowodnienia i proszę o sprawdzenie, czy nie ma niedomówień i czy samo twierdzenie jest poprawne.
Twierdzenie w przestrzeni: Rozważmy prostą \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ k \perp \pi}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ \left| k ^{'} \cap \pi \right| \ge 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest dowolną prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ k^{'} \in \pi}\).
Dowód: Niech prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Wówczas prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) nie są równoległe. A ponieważ \(\displaystyle{ k \perp \pi}\), to proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k^{'}}\) nie są prostopadłe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Twierdzenie w przestrzeni: Rozważmy prostą \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ k \perp \pi}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ \left| k ^{'} \cap \pi \right| \ge 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest dowolną prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ k^{'} \in \pi}\).
Dowód: Niech prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Wówczas prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) nie są równoległe. A ponieważ \(\displaystyle{ k \perp \pi}\), to proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k^{'}}\) nie są prostopadłe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.