moment bezwładności brył foremnych

[Fibik]

Wykazać że moment bezwładności brył foremnych nie zależy od osi obrotu.

Chodzi mi o 'bryły' złożone z równych mas m(=1), które umieszczamy w wierzchołkach.

Moment bezwładności definiujemy tak:
\(\displaystyle{ I = \sum_i r_i^2}\), dla m = 1, czyli jest to prosta suma kwadratów odległości wierzchołków do zadanej osi (przechodzącej przez środek bryły).

-- 11 sierpnia 2017, 18:56 --

Czyżby zbyt trudne zadanko?

[Kartezjusz]

Zacznij od sześcianu. Skąd masz to zadanie? I czy jako oś obrotu rozumiemy tylko osie przechodzące przez środek ciężkości?

[Fibik]

Oczywiście że oś rotacji przechodzi przez środek masy, bo innej możliwości nie ma.

Przykładowo dla czworościanu mamy np. takie szczególne osie:

1. oś przez wysokość - wtedy wierzchołek leży na osi, więc daje 0;
pozostaje trójkąt równoboczny z podstawy, czyli trzy równe masy i na jednakowym promieniu:
\(\displaystyle{ r^2=(\frac{2}{3}h)^2=(\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2})^2 =\frac{4}{9}\frac{3}{4} =\frac{1}{3}}\)
stąd moment bezwładności wynosi: \(\displaystyle{ I = 0 + 3 r^2 = 1}\)

2. oś przechodząca poprzez środki przeciwległych krawędzi (prostopadłe wzajemnie);
wtedy mam równe odległości do 4 wierzchołków - po r = 1/2 każda, więc:
\(\displaystyle{ I = 4(\frac{1}{2})^2 = 1}\)

3. ...

jak widać wynik jest taki sam.