objętość diabelskiego przekroju czworościanu

[Fibik]

"W czworościanie foremnym o krawędzi długości a poprowadzono przekrój płaszczyzną przechodzącą przez wysokość podstawy i środek krawędzi bocznej niemającej punktów wspólnych z tą wysokością".

Obliczyć stosunek objętość obu części, na które ta płaszczyzna dzieli czworościan.

[kruszewski]

\(\displaystyle{ \kappa= \frac { \frac{1}{4} }{ \frac{3}{4} }= \frac{1}{3}}\)

[Fibik]

Zgadywanie nie liczy się.

[Takahashi]

To nie jest zgadywanie. Odcięty czworościan ma dwa razy mniejszą wysokość (z podobieństwa trójkątów) i dwa razy mniejsze pole podstawy (ponieważ jej wysokość jest jednocześnie środkową), zatem cztery razy mniejszą objętość.

\(\displaystyle{ \frac{\frac 14}{1 - \frac 14} = \frac 13}\).

Robicie z tego zadania drugą najtrudniejszą zagadkę świata, a tak naprawdę jest poniżej poziomu olimpiady gimnazjalistów.

[Fibik]

Jakoś mało symetrycznie do tego podszedłeś.

A można to zrobić to prościej:
robimy trzy takie przekroje - na wspólnym wierzchołku,
a wówczas otrzymasz tam 3 identyczne bryłki po bokach i czwarta w środku.

Wysokość jest identyczna dla tych 4-ech ostrosłupów, i równa oryginalnej wysokości czworościanu,
a i podstawy są identyczne, i są to nadal trójkąty równoboczne, ale już 4 razy mniejsze...

[piasek101]

Jakoś mało symetrycznie do tego podszedłeś.

A można to zrobić to prościej:
robimy trzy takie przekroje - na wspólnym wierzchołku,
a wówczas otrzymasz tam 3 identyczne bryłki po bokach i czwarta w środku.

Wysokość jest identyczna dla tych 4-ech ostrosłupów, i równa oryginalnej wysokości czworościanu,
a i podstawy są identyczne, i są to nadal trójkąty równoboczne, ale już 4 razy mniejsze...

Co prawda nie ja odpowiadałem - ale to co podajesz jest raczej komplikowaniem a nie upraszczaniem.

[Fibik]

Najwyraźniej masz słabą wyobraźnię przestrzenną.

[kruszewski]

Żeby nie było, że zgaduję, to obrazek z oznaczeniami co jest co i co jest ile.

Ukryta treść:    

Pytanie było o stosunek dwu objętości. Objętości części pod płaszczyzną podziału, do objętości reszty ostrosłupa. Nie ma więc potrzeby a nawet nie powinno się wyznaczać innych objętości niż te o które jest pytanie.
W.Kr.

[Fibik]

Przesadnie pogmatwane...
Wystarczy zauważyć że podstawą jest tu nadal trójkąt równoboczny, ale o dwa razy krótszych bokach: \(\displaystyle{ a/2}\), a wysokość pozostaje \(\displaystyle{ = H}\), i stąd też objętość: \(\displaystyle{ V/4}\).

[kruszewski]

Nie ma Pan racji.
Pierwszym warunkiem zadania jest położenie krawędzi wspólnej plaszczyzn podstawy i krojącej która to krawędź miała być wysokością podstawy a ta połowi podstawę która jest trójkątem równobocznym. Ten warunek połowienia podstawy krawędzią tych płaszczyzn zastał użyty bez dalszych dowodów jako "akcjomat" tego zadania.
Drugim warunkiem jest położenie punktu przebicia płaszczyzny krojącej krawędzię ścian bocznych takim, że połowi on tę krawędź. Konsekwencją tego jest wniosek, że wysokość tego punktu nad podstawą czworościanu jest równa połowie wysokości czworościanu. I ten wniosek wynikajęcy z drugiego warunku zadanego w zadaniu został tu zastosowany. I na tym, na użyciu warunków z zadania, polega wywód o objętości czworościanu odkrojonej płaszczyzną o zadanym w nim (w czworościanie) położeniu.
Myślę, że dobrze objaśniłem powody użycia takiej konstrukcji nie tylko geometrycznej ale i analitycznej.
W.Kr.

[Elayne]

Czworościan foremny o krawędzi długości \(\displaystyle{ 6}\):
- objętość całkowita czworościanu: \(\displaystyle{ 25,46}\);
- objętość ostrosłupa odciętego płaszczyzną: \(\displaystyle{ 6,36}\).

[piasek101]

Czworościan foremny o krawędzi długości \(\displaystyle{ 6}\):
- objętość całkowita czworościanu: \(\displaystyle{ 25,46}\);
- objętość ostrosłupa odciętego płaszczyzną: \(\displaystyle{ 6,36}\).

Nie.
Przecież już wszystko (dla niektórych prawie) było już wyjaśnione.

[Fibik]

Ja zawsze mam rację.