Przekrój ostrosłupa, w wyniku czego powstaje pięciokąt

[poetaopole]

Jeszcze raz zadanie sprzed 5 lat:
Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają długość a. Oblicz pole przekroju płaszczyzną poprowadzoną przez środku dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i środek wysokości ostrosłupa.
Powinno wyjść: \(\displaystyle{ \frac{5a^{2} \sqrt{2} }{16}}\). Można znaleźć w necie ładne rysunki do tego zadania (kopij/wklej jak ktoś umie), ale wszystkie rozwiązania są złe, poza jednym, ale te z kolei jest bez rysunku i właściwie nie jest wytłumaczone. Może ktoś poradzi? Jest do zadania z "Kurczabów" z gwiazdką, czyli mocno niełatwe.

[kruszewski]

Można prosić o adres do tego rozwiązania "bez rysunku"?
Jak można to i do pozostałych też.
W.Kr.
Dziękuję, już nie trzeba.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.4cm]
\draw[red] (0,4,0)--(0,0,4)--(4,0,0)--(0,4,0)--(-4,0,0)--(0,0,4);
\draw[dashed][red] (4,0,0)--(0,0,-4)--(-4,0,0);
\draw[dashed][red] (0,0,-4)--(0,4,0);
\draw[dashed] (0,0,0)--(0,4,0);
\draw[loosely dashed][orange] (4,0,0)--(0,0,0)--(-4,0,0);
\draw[loosely dashed][orange] (0,0,-4)--(0,0,0)--(0,0,4);
\draw[blue] (2,0,2)--(0,2,2)--(-1,3,0);
\draw[blue][dashed] (2,0,2)--(2,0,-2)--(0,2,-2)--(-1,3,0);
\draw[blue][dotted] (0,2,2)--(0,2,-2);
\draw[blue][loosely dotted] (2,0,0)--(-1,3,0);
\end{tikzpicture}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{a \sqrt{2} }{2 } \cdot \frac{a}{2}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2 } \cdot ( \frac{3}{4}a- \frac{a}{2})}\)

EDIT
Dodałem w grafice wysokość ostrosłupa.

[poetaopole]

Prostokąt rozkminiłem, ale z trójkątem mam problem. Wytłumaczysz trochę?

[florek177]

14326.htm#p245128

[kruszewski]

Do tego listu:
14326.htm#p245128
dodam taki obrazek poglądowy z zachowaniem proporcji:


Przepraszam pana kera
jsa za wtrącenie swoich trzech groszy, ale dyskusja się rozwija a Pan
kerajs ma pewnie teraz ciekawsze zajęcie i nie zagląda na forum.
W.Kr.

[kerajs]

Nie ma za co przepraszać. Zarówno Pan jak i każdy z forumowiczów ma prawo wypowiadać się w każdym z tematów.
Na Forum próbuję zaglądać. Niestety internet z którego czasem jestem zmuszony korzystać mocno ogranicza te próby, a już wysłanie napisanego postu to niemal walka z wiatrakami.

Równoległość płaszczyzny przekroju do jednej z krawędzi bocznych znacznie upraszcza zadanie. Wiadomo że pole przekroju to suma pola równoramiennego trapezu i równoramiennego trójkąta. Potrzebne są tylko ich podstawy i wysokości, a te bez żadnych rachunków można wyznaczyć z podobieństwa trójkątów.
1) Dolna podstawa trapezu (niebieska linia przerywana):
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.4cm]
\draw[red] (4,0,0)--(0,0,4);
\draw[dashed][red] (4,0,0)--(0,0,-4);
\draw[loosely dashed][orange] (4,0,0)--(0,0,0);
\draw[loosely dashed][orange] (0,0,-4)--(0,0,4);
\draw[blue][dashed] (2,0,2)--(2,0,-2);
\end{tikzpicture}}\)
to połowa przekątnej, czyli \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)
2)
Górna podstawa trapezu/ postawa trójkąta (niebieskie kropki)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.4cm]
\draw[dashed] (0,0,0)--(0,4,0);
\draw[red] (0,0,4)--(0,4,0);
\draw[dashed][red] (0,0,-4)--(0,4,0);
\draw[loosely dashed][orange] (0,0,-4)--(0,0,4);
\draw[blue][dotted] (0,2,2)--(0,2,-2);
\end{tikzpicture}}\)
to także połowa przekątnej, czyli \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2}}\) . Przy okazji okazuje się że trapez jest prostokątem.
3)
Wysokość trapezu (niebieskie kropki):
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.4cm]
\draw[red] (4,0,0)--(0,4,0);
\draw[dashed] (0,0,0)--(0,4,0);
\draw[loosely dashed][orange] (4,0,0)--(0,0,0);
\draw[blue][loosely dotted] (2,0,0)--(0,2,0);
\end{tikzpicture}}\)
to połowa krawędzi bocznej czyli \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\)
4)
Wysokość przekroju (niebieskie kropki):
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.4cm]
\draw[red] (4,0,0)--(0,4,0)--(-4,0,0);
\draw[dashed] (0,0,0)--(0,4,0);
\draw[loosely dashed][orange] (4,0,0)--(-4,0,0);
\draw[blue][loosely dotted] (2,0,0)--(-1,3,0);
\end{tikzpicture}}\)
to trzy czwarte krawędzi bocznej czyli \(\displaystyle{ \frac{3a}{4}}\)

Ponieważ to widać nawet na prowizorycznym rysunku, to od razu napisałem wynikający z tych wartości wzór na pole przekroju.