rysowanie 12-scianu w sferycznych

[Fibik]

Dwunastościan foremny składa się z 12 pięciokątów, i ma 20 wierzchołków = 5 x 4.

Gdy postawimy to na ścianie, wtedy wierzchołki leżą na 4 pięciokątach, o tak to wygląda:

----|---A, jeden pięciokąt
----| - h1 - odległość pomiędzy pięciokątami
----|------B drugi pięciokąt, i Phi = 1.618... razy większy
----|- h2
----O - środek
----|- h2
----|------C trzeci
----|- h1
----|----D i czwarty

zatem aby to narysować wystarczy wyliczyć odległości: h1 i h2 - jakie one są?

[kerajs]

Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie bokiem dwunastościanu.

Promień sfery opisanej na dwunastościanie:
\(\displaystyle{ R= \frac{a\left( \sqrt{3}+ \sqrt{15} \right) }{4}}\)
Promień okręgu opisanego na pięciokącie BCHLG to:
\(\displaystyle{ R_1=\frac{a \sqrt{50+ 10\sqrt{5}} }{10}}\)
Bok pięciokąta ADMQK to:
\(\displaystyle{ a'= \frac{a\left( \sqrt{5}+ 1 \right) }{2}}\)
Promień okręgu opisanego na pięciokącie ADMQK to:
\(\displaystyle{ R_2=\frac{a' \sqrt{50+ 10\sqrt{5}} }{10}}\)

szukane:
\(\displaystyle{ h_2= \sqrt{R^2-R_2^2}\\
h_1= \sqrt{R^2-R_1^2}-h_2}\)

[Fibik]

Zatem jakie są współrzędne sferyczne wierzchołków?

I spróbuj używać:
\(\displaystyle{ \Phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{1}{\phi}}\), zamiast tych popapranych pierwiastków;

wtedy:
\(\displaystyle{ a' = a\Phi;\, R = a\frac{\sqrt{3}}{2}\Phi}\)

[kerajs]

1.
Przecież nie pytałeś o współrzędne sferyczne a jedynie o h1 i h2, nieprawdaż?
Wystarcza to do opisu wierzchołków dwunastościanu we współrzędnych walcowych.

2.
\(\displaystyle{ \alpha =\arcsin \frac{h_1+h_2}{R} \\
\beta =\arcsin \frac{h_2}{R}\\
\\
BGLHC:\\
B=(R, \gamma , \alpha )\\
G=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{5} , \alpha )\\
L=(R, \gamma +2 \cdot \frac{2 \pi }{5} , \alpha )\\
H=(R, \gamma +3 \cdot \frac{2 \pi }{5} , \alpha )\\
G=(R, \gamma +4 \cdot \frac{2 \pi }{5} , \alpha )\\
AKQMD:\\
A=(R, \gamma , \beta )\\
K=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{5} , \beta )\\
...\\
D=(R, \gamma + 4 \cdot \frac{2 \pi }{5} , \beta )\\
FPRIE:\\
F=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{10}, - \beta )\\
P=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{10} + \frac{2 \pi }{5} , - \beta )\\
...\\
E=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{10}+ 4 \cdot \frac{2 \pi }{5} , - \beta )\\
ZTSNJ:\\
Z=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{10} , - \alpha )\\
T=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{10} + \frac{2 \pi }{5} , - \alpha )\\
...\\
J=(R, \gamma + \frac{2 \pi }{10}+4 \cdot \frac{2 \pi }{5} , - \alpha )}\)

Gamma to dowolny kąt.

3.
Zgodnie z zaleceniem ten post nie zawiera pierwiastków.

[Fibik]

R nie przeliczyłeś... i w ogóle jakoś to pogmatwane;
a zresztą R można sobie przyjąć dowolne, np. R=1, czyli sfera jednostkowa.

-- 1 sierpnia 2017, 01:05 --

Tam będzie chyba tak:

\(\displaystyle{ \tan(\alpha)=\frac{\Phi^2}{2};\,i \tan(\beta)=\frac{\phi^2}{2}}\)-- 1 sierpnia 2017, 01:05 --zgadza się?