4 sfery w stożku

[guminjo]

Witam, zadanie krąży mi po głowie już jakiś czas i do tej pory nie czułem potrzeby utwierdzania się co do własnych przypuszczeń.

Mamy 4 kule, każda taka sama, wpisane są one w stożek w sposób pokazany poniżej. Jaki jest kąt wierzchołkowy stożka.

AU

pmV9cNG.jpg (25.55 KiB) Przejrzano 89 razy

Ja założyłem, że będzie to 60 stopni, po tym, że z środków owych kul utworzymy czworościan foremny, którego krawędzie będą równoległe do tworzącej stożka. Szukam jednak potwierdzenia. Nie pali mi się. Dzięki z góry za pomoc.

[piasek101]

To nie jest 60.

Wg mnie to kąt którego sinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt 2}{3}}\). Niech ktoś to potwierdzi, albo zaprzeczy.

[Takahashi]

Moim zdaniem jest to dwukrotność kąta, którego k̶o̶s̶i̶n̶u̶s sinus wynosi

\(\displaystyle{ \frac{\frac 23 \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt 3}}\).

Dlaczego tak, a nie inaczej? W mianowniku mamy długość krawędzi bocznej, a w liczniku dłuższy fragment wysokości w trójkącie równobocznym (podstawie), którą rozciął wierzchołek ostrosłupa. Jest późno, dawno nie liczyłem, mogę się mylić.

(Edytowałem post zgodnie z tym, co niżej pisze piasek101)

[piasek101]

Moim zdaniem jest to dwukrotność kąta, którego kosinus wynosi

\(\displaystyle{ \frac{\frac 23 \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt 3}}\).

Chyba sinus.
[edit] Więc mamy to samo.

[kruszewski]

Z rysunku w rzutach Monge`a

Ukryta treść:    

można zauważyć, że \(\displaystyle{ |AO| > r}\), zatem kąt \(\displaystyle{ \alpha >30^o}\)

\(\displaystyle{ \frac{r}{|OA|} = \cos 30^o}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{|AO|}{2r}= \frac{r}{2r \cos 30^o}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{3} \rightarrow \alpha = 35, 28...^o}\)
Kąt wierzchołkowy równy jest dwu kątom \(\displaystyle{ \alpha}\)
Zatem \(\displaystyle{ 2 \alpha =2 \cdot 35,28...^o = 70,5^o}\) z małym nadmiarem.