kula w ostrosłupie utworzonym z sześcianu

[poetaopole]

Sześcian o krawędzi 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekatną dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy. Jednym z otrzymanych w ten sposób wielościanów jest ostrosłup. Oblicz objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup. Odp. \(\displaystyle{ 9+3 \sqrt{3}}\).
Znalazłem z necie 2 strony z rozwiązaniem tego zadania, ale koledzy stosowali tam wzór \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P \cdot r}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) - jest polem wielościanu, a \(\displaystyle{ r}\) - promieniem kuli weń wpisanej. Niestety, wzoru tego nie ma w programie szkolnym, a zadanie jest zadaniem podręcznikowym (NE) z powtórki do matury. To może ktoś dałby radę zrobić je sposobem "elementarnym"?

-- 1 maja 2017, o 07:28 --

Już wszystko jasne: przeanalizowałem wzór, jest elementarny, tylko nie chciało mi się myśleć w Święto Pracy

[kerajs]

Sześcian o krawędzi 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekatną dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy. Jednym z otrzymanych w ten sposób wielościanów jest ostrosłup. Oblicz objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup. Odp. \(\displaystyle{ 9+3 \sqrt{3}}\).

Bez jakichkolwiek obliczeń widać że to błędna odpowiedź.

To może ktoś dałby radę zrobić je sposobem "elementarnym"?

Uzyskany ostrosłup kładę na równobocznej podstawie i szukam jego wysokości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \frac{(6 \sqrt{2})^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h = \frac{1}{3}( \frac{1}{2}6^2) \cdot 6\\
h=2 \sqrt{3}}\)
A jednocześnie:
\(\displaystyle{ h=r+r \sqrt{3} \Rightarrow r=3- \sqrt{3}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ V_k= \frac{4}{3} \pi r^3=(72-40 \sqrt{3}) \pi}\)

[poetaopole]

No, oczywiście, przecież brak PI w odpowiedzi Pomyliłem rozdziały spisując odpowiedzi. Dziękuję

-- 2 maja 2017, o 06:07 --

Kerajs, powiedz mi, skąd ten związek: \(\displaystyle{ h=r+r \sqrt{3}}\)? A może ktoś inny to wie?

[kerajs]

Pewnie nie wiesz, ale takie dopisywanie nie powoduje ponownego wyświetlania się postu jako nieprzeczytanego. Dlatego ja po prostu nie wiedziałem, że coś dopisałeś do odpowiedzi którą już przeczytałem.

Myślę, że grafika wszystko wyjaśnia:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[orange] (0,0)--(0,9.464)--(9.464,0)--(0,0);
\draw[orange][dashed] (0,9.464)--(3.732,3.732)--(0,0);
\draw[orange][dashed] (3.732,3.732)--(9.464,0);
\draw[blue] (0,0)--(0,2)--(2,2)--(2,0)--(0,0);
\draw[blue] (0,2)--(1,3)--(3,3)--(3,1)--(2,0);
\draw[blue] (2,2)--(3,3);
\draw[blue][dashed] (0,0)--(1,1)--(3,1)--(1,1)--(1,3);
\draw[red][dashed] (3,3) circle [x radius=1.15, y radius=2];
\draw[red][dashed] (3,3) circle [x radius=2, y radius=1.15];
\draw[red] (3,3) circle (2);
\fill[red] (3,3)circle(0.07);
\fill[green] (2,2)circle(0.07);
\fill[green] (1,3)circle(0.07);
\fill[green] (3,1)circle(0.07);
\fill[green] (4.2,4.2)circle(0.07);
\end{tikzpicture}}\)

Dorysowany niebieski sześcian ma bok \(\displaystyle{ r}\), a jego przekątna (i jednocześnie fragment wysokości) to \(\displaystyle{ r \sqrt{3}}\)