Kąty w ostrosłupie - dowód

[poetaopole]

Miara kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \(\displaystyle{ \beta}\). Wykaż, że cosinus kąta między ściana boczną tego ostrosłupa a jego podstawą jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{- \cos \beta }}\). Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest oczywiście rozwarty.

[Larsonik]

Oznaczmy krawędź podstawy jako \(\displaystyle{ a}\) i wysokość ściany bocznej opuszczoną na krawędź podstawy jako \(\displaystyle{ h}\), a opuszczoną na krawędź boczną jako \(\displaystyle{ x}\). Wtedy z twierdzenia cosinusów możemy uzależnić \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ a}\). Krawędź boczną uzależniamy od \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ a}\) z tw. Pitagorasa. Ostatecznie z dwóch wzorów na pole ściany bocznej możemy porównać \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ h}\), powinno wyjść.