Czworościan nieforemny (?)

animasola · Post autor: **animasola** » 18 lut 2017, o 21:57

Mam spory problem z zadaniem. Podchodziłam do rysunku kilka razy, ale mam sporo wątpliwości. Przede wszystkim nie wiem, jaki trójkąt ma znaleźć się w podstawie - równoboczny czy różnoboczny? Kolejną sprawą jest to, czy w ścianach będą trójkąty równoramienne. Jestem w kropce. Może ktoś poratuje? Nie chodzi mi nawet o rozwiązanie całego zadanie, ale jakieś podpowiedzi. Bardzo proszę o pomoc

Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\), przy czym \(\displaystyle{ |AB| = 6, |CD| = 8}\) oraz proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są do siebie nachylone pod kątem \(\displaystyle{ 60}\) stopni (prosta równoległa do \(\displaystyle{ AB}\) przecinająca \(\displaystyle{ CD}\) tworzy z nią kąt \(\displaystyle{ 60}\) stopni). Punkty \(\displaystyle{ E, F, G}\), są środkami odcinków \(\displaystyle{ AD, BD, CD}\). Ile wynosi pole części wspólnej czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ EFG}\)?

Kris123455 · Post autor: **Kris123455** » 19 lut 2017, o 01:21

\(\displaystyle{ \frac14}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) (to są figury \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ EFG}\) podobne o skali podobieństwa \(\displaystyle{ \frac12}\)).
Zadanie nie jest jednoznaczne - punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) i \(\displaystyle{ D}\) mogą leżeć w jednej płaszczyźnie np. trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) (\(\displaystyle{ A=D}\)) o kącie \(\displaystyle{ 60^\circ}\) i bokach \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 8}\) przy tym koncie spełnia warunki zadania.

animasola · Post autor: **animasola** » 19 lut 2017, o 01:49

Jak to \(\displaystyle{ A=D}\)? Chodzi o to, że te punkty się na siebie nakładają? Nie rozumiem, gdyby się nakładały, to nie powstałby wielościan.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 19 lut 2017, o 02:37

Kris123455 pisze:Zadanie nie jest jednoznaczne - punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) i \(\displaystyle{ D}\) mogą leżeć w jednej płaszczyźnie np. trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) (\(\displaystyle{ A=D}\)) o kącie \(\displaystyle{ 60^\circ}\) i bokach \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 8}\) przy tym koncie spełnia warunki zadania.

Ściany wielościanu muszą mieć rozłączne wnętrza, więc punkt \(\displaystyle{ D}\) nie może należeć do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\) .

animasola · Post autor: **animasola** » 19 lut 2017, o 03:07

Nadal nie mam pomysłu jak to rozwiązać. Można skorzystać z podobieństwa, ale nie wiem, jaki trójkąt mam w podstawie. Znam tylko długość jednej krawędzi, a chyba nie mogę założyć, że to trójkąt równoboczny, prawda?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 19 lut 2017, o 04:10

Tak sformułowane zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale gdyby było podane, że czworościan ten jest ostrosłupem prawidłowym, to chyba tylko jedno.

Edit:

Nie może to być ostrosłup prawidłowy, bo wówczas musiało by być \(\displaystyle{ \overline{CD}\perp\overline{AB}}\) . Brakuje jakiejś danej, aby zadanie to miało jednoznaczne rozwiązanie.