Obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

[Stefaniak1916]

1. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego podstawą jest trójkąt
równoboczny o boku \(\displaystyle{ a}\). Odległość od wierzchołka podstawy do
płaszczyzny zawierającej przeciwległą ścianę boczną ostrosłupa
równa się \(\displaystyle{ b}\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Poproszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

[piasek101]

Przekrój przez krawędź boczną i wysokość przeciwległej ściany bocznej.

Pole przekroju z użyciem danych i wysokości ostrosłupa oraz wysokości ściany bocznej (obie wysokości nieznane), Do tego Pitagoras w trójkącie z tymi wysokościami.

[Stefaniak1916]

Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

Podany trójkąt jest przekrojem przez krawędź boczną podanego ostrosłupa i wysokość przeciwległej ściany bocznej. Ramię \(\displaystyle{ BC}\) tego trójkąta jest krawędzią boczną ostrosłupa podanego w zadaniu, a ramię \(\displaystyle{ AC}\) jest wysokością przeciwległej ściany bocznej. Wysokości \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ b}\) padają odpowiednio na odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\).
Podstawa tego trójkąta, odcinek \(\displaystyle{ AB}\), jest wysokością podstawy ostrosłupa podanego w zadaniu (skoro ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi (jest to ostrosłup prawidłowy) to wysokość poprowadzona z wierzchołka C ostrosłupa pada na środek krawędzi podstawy. Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym, więc wysokość podstawy poprowadzona z wierzchołka B przecina krawędź podstawy też w połowie, czyli obie wysokości spotykają się w punkcie \(\displaystyle{ A}\).
Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość \(\displaystyle{ a}\), więc odcinek \(\displaystyle{ AB}\) ma długość \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\). Wysokości podstawy ostrosłupa przecinają się w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\), więc odcinek \(\displaystyle{ AD}\) ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{3} *}\) (wys. podstawy ostrosłupa).
Czyli długość \(\displaystyle{ AD}\) ma wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{3} * \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{6}}\).
Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wynosi
\(\displaystyle{ P= \frac{ah}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{bn}{2}}\)
Mamy jeszcze
z Tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ n= \sqrt{h ^{2} + ( \frac{a \sqrt{3} }{6}) ^{2}}}\)
Podstawiamy to do wzorów pola tego trójkąta.
\(\displaystyle{ P=P}\)
\(\displaystyle{ \frac{ah}{2} = \frac{bn}{2}}\)
\(\displaystyle{ ah} = b\sqrt{h ^{2} + ( \frac{a \sqrt{3} }{6}) ^{2}}\) podnosimy obie strony równania do kwadratu
\(\displaystyle{ a^{2}h ^{2} = b ^{2} h ^{2} + b^{2} * \frac{3a ^{2}}{36}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}h ^{2} = b ^{2} h ^{2} + \frac{ a^{2}b ^{2} }{12}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}h ^{2} - b ^{2} h ^{2} = \frac{ a^{2}b ^{2} }{12}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2}(a ^{2}-b^{2})= \frac{ a^{2}b ^{2} }{12}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2}= \frac{a ^{2}b^{2}} {12a^{2}-12 b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{\sqrt{a ^{2}b^{2}}} {\sqrt{12 a^{2}-12 b^{2}}}=\frac{ab} {\sqrt{12 a^{2}-12 b^{2}}}=\frac{ab} {\sqrt{12 (a^{2}- b^{2})}}=\frac{ab} {\sqrt{12 (a^{2}- b^{2})}}}\)

Skoro podstawą ostrosłupa opisanego w zadaniu jest trójkąt równoboczny o krawędzi podstawy równej \(\displaystyle{ a}\), to pole podstawy tego ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ Pp=\frac{a ^{2} \sqrt{3}}{4}}\)

Teraz możemy obliczyć objętość ostrosłupa. Wzór na objętość ostrosłupa wynosi
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * Pp * h}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} * \frac{a ^{2} \sqrt{3}}{4} * \frac{ab} {\sqrt{12( a^{2}- b^{2})}}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{a ^{3} b \sqrt{3} }{12 \sqrt{12( a^{2}- b^{2})}}}\)

Odpowiedź.: Objętość ostrosłupa podanego w zadaniu wynosi \(\displaystyle{ \frac{a ^{3} b \sqrt{3} }{12 \sqrt{12( a^{2}- b^{2})}}.}\)

[kinia7]

Jest OK.