Prostopadłościan, kąty które tworzy przekątna

[Tomuello]

Przekątna tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z wierzchołka kąty o miarach \(\displaystyle{ 45^o}\) i \(\displaystyle{ 60^o}\)

Jak obliczyć kąt, który tworzy z trzecim bokiem?

AU

JfMbD74.png (10.43 KiB) Przejrzano 115 razy

[Poszukujaca]

Jak dla mnie, aby znaleźć kąt \(\displaystyle{ HBF}\) potrzebowalibyśmy coś wiedzieć o długościach boków w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle HBF}\). Można skorzystać wtedy z funkcji trygonometrycznych.

[kerajs]

Niech:
\(\displaystyle{ \left| BC\right|=a}\)
W trójkącie prostokątnym BCH zachodzi
\(\displaystyle{ \cos 60^{\circ}= \frac{\left| BC\right| }{\left|BH \right| } \Rightarrow \left| BH\right|=2a}\)
W trójkącie prostokątnym ABH zachodzi
\(\displaystyle{ \cos 45^{\circ}= \frac{\left| AB\right| }{\left|BH \right| } \Rightarrow \left| AB\right|=a \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \left|HF \right| =\left| DB\right|= \sqrt{\left| AB\right|^2+\left| BC\right|^2 } =a \sqrt{3} \\
\sin \alpha = \frac{\left| HF\right| }{\left| HB\right| }=\frac{a \sqrt{3} }{2a}= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
\alpha = 60^{\circ}}\)

[Tomuello]

Bez trygonometrii, mam wykazać poprostu, że stosunki odpowiednich odcinków są jak w trójkątach \(\displaystyle{ 45^o,45^o,90^o,}\) i \(\displaystyle{ 30^o,60^o,90^o,}\) i stąd zauwazyc jaki gdzie jest kąt?

[kerajs]

Przecież to jest to samo.

Niech:
\(\displaystyle{ \left| BC\right|=a}\)
W trójkącie prostokątnym BCH podobnym do połowy trójkąta równobocznego zachodzi stosunek boków
\(\displaystyle{ \blue \frac{ \frac{1}{2} }{x} \black = \frac{\left| BC\right| }{\left|BH \right| } \Rightarrow \left| BH\right|=2a}\)
W trójkącie prostokątnym ABH podobnym do trójkąta równoramiennego prostokątnego zachodzi stosunek boków
\(\displaystyle{ \blue \frac{y}{y \sqrt{2} } \black = \frac{\left| AB\right| }{\left|BH \right| } \Rightarrow \left| AB\right|=a \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \left|HF \right| =\left| DB\right|= \sqrt{\left| AB\right|^2+\left| BC\right|^2 } =a \sqrt{3} \\
\frac{\left| HF\right| }{\left| HB\right| }=\frac{a \sqrt{3} }{2a}= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\}\)
a taki stosunek boków jest w połowie trójkąta równobocznego a szukany kąt to 60 stopni