Ściany boczne, równe kąty, środek okręgu wpisanego

[Rafal411]

Jak udowodnić, że jeśli wszystkie ściany boczne ostrosłupa nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w wielokąt w podstawie (zakładamy, że w ten wielokąt da się wpisać okrąg)?

[piasek101]

Poszukaj trójkątów prostokątnych z ,,danym" kątem i wysokością ostrosłupa.

[k221]

Na pewno okręgu wpisanego a nie opisanego?

[piasek101]

Na pewno okręgu wpisanego a nie opisanego?

Wpisanego.

Opisanego gdy kąty krawędzi bocznych z podstawą są takie same.

[Rafal411]

Właśnie problem polega na tym, że nie bardzo te trójkąty widzę. Z tego, co się orientuję, kąt dwuścienny to kąt między prostymi prostopadłymi do wspólnej prostej dwóch płaszczyzn (i te trzy proste przecinają się w jednym punkcie), no ale jak poprowadzę ze spodka wysokości odcinek prostopadły do krawędzi podstawy, to nie mam pewności, że on "trafi" w ten sam punkt, co wysokość odpowiedniej ściany bocznej poprowadzona do podstawy.

[piasek101]

Więc zacznij od wysokości ściany bocznej.

Ponieważ wysokość ostrosłupa jest stała, masz trójkąty prostokątne o jednakowych kątach i jednym boku - co w konsekwencji oznacza, że są przystające, a spodek wysokości okazuje się być równo odległy od każdej z krawędzi podstawy.

[Rafal411]

Wydawało mi się, że to rozumiem, ale jednak jest inaczej. Jeśli poprowadzę wysokość ściany bocznej do krawędzi podstawy, a ze spodka tej wysokości odcinek do spodka wysokości ostrosłupa, to faktycznie dostanę trójkąt prostokątny, ale wciąż nie wiem, czy w tym trójkącie będzie ten kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą.

[piasek101]

Płaszczyzna poprowadzona przez wysokość ściany i wysokość ostrosłupa jest prostopadła do krawędzi podstawy - zatem kąt dwuścienny jest na niej mierzony.

[Rafal411]

No tak... twierdzenie o trzech prostych prostopadłych, kompletnie o nim zapomniałem. Dziękuję Panu za poświęcony czas, szczególnie za ostatni post, który mi naprawdę pomógł.