Kule w walcu

[AaBbMm]

W zamkniętym naczyniu w kształcie walca o średnicy podstawy równej 2 są umieszczone na dwóch poziomach po 2 metalowe kule o takim samym promieniu. Każde dwie z tych czterech kul są wzajemnie styczne, każda z kul niższego poziomu leży na dnie naczynia, a każda z kul wyższego poziomu dotyka górnego wieka naczynia. Ile jest równa największa objętość wody jaką można wlać do naczynia?

[florek177]

\(\displaystyle{ r \,\,\,}\) - promień kuli. Jeżeli połączysz ze sobą środki kul, to na dwóch poziomach otrzymasz odcinki równe \(\displaystyle{ \,\, 2 r \,\,}\), wzajemnie do siebie prostopadłe. Środki kul na podstawie ze środkiem kuli wyższej tworzą trójkąt równoboczny o boku równym \(\displaystyle{ \,\, 2 r \,\,}\). Wysokość walca to \(\displaystyle{ \,\, H = 2r + x \,\,}\).
\(\displaystyle{ \,\, x \,\,}\) - jest odległością między odcinkami i wyznaczysz ją z trójkąta prostokątnego: \(\displaystyle{ r, h \,\,\,}\) - gdzie \(\displaystyle{ \,\, h \,\,}\) - jest wysokością w/w trójkąta równobocznego.

odp. \(\displaystyle{ \, \frac{ \pi }{6} \cdot(3 \sqrt{2} + 2)}\)

[AaBbMm]

Zaczynam się obawiać, że popełniam jakiś głupi błąd np. postawienie złej długości promienia kuli (podstawam 1/2). Z tym podstawieniem wedle twoich wskazówek wychodzi mi zupełnie inny wynik.

[florek177]

Promień kuli - ok; a ile wyszło \(\displaystyle{ \,\, x \,\,}\)?

[AaBbMm]

To pewnie tutaj popełniam błąd. Wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)