Wysokość romboedru i dwusieczne w rombie.

[Jakbog]

Sytuacja jak na (prowizorycznym) rysunku:

Dany jest romboedr, którego ściana jest rombem o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) i o boku \(\displaystyle{ a}\). Nie mam pomysłu, jak udowodnić, że spodek wysokości opuszczonej z punktu leżącego na przekątnej górnej podstawy zawiera się w przekątnej dolnej podstawy (szerzej: w prostej zawierającej tę przekątną). Jest to poniekąd oczywiste, ale chętnie zobaczyłbym ścisły argument.
I pytanie poboczne: jak udowodnić, że w rombie przekątne pokrywają się z dwusiecznymi kątów? Z góry dziękuję za pomoc.

[piasek101]

2) Gdzieś są trójkąty równoramienne. Albo proste równoległe przecięte trzecią.

1) Jeszcze się nie brałem - ale dotyczy to konkretnej (jednej) przekątnej, a nie dowolnej.
[edit] Podstawy są przesunięte względem siebie wzdłuż jednej z przekątnych.

[Jakbog]

piasek101:
2) No tak, przecież to oczywiste. Zaćmienie mózgu.
1) Dotyczy to jednej przekątnej, jasne. Ująłem to może niezbyt precyzyjnie, ale rysunek powinien ilustrować dokładnie, o co chodzi. Tak naprawdę pokazanie, że podstawy są przesunięte względem siebie wzdłuż jednej z przekątnych, załatwiałoby sprawę. Zdaje się, że tak w istocie będzie, bo w pochyleniu ścian jest pewna symetria, a zatem pochylenie będzie się realizować wzdłuż dwusiecznej, czyli wzdłuż przekątnej. Tylko pytanie, jak to uściślić. I czy nie istnieje "mniej wektorowy", a "bardziej geometryczny" argument.

[timon92]

niech \(\displaystyle{ A}\) to wierzchołek tego rombościanu, przy którym są kąty ostre, \(\displaystyle{ ABCD}\) to podstawa tego rombościanu i \(\displaystyle{ E}\) to wierzchołek, z którego poprowadzono wysokość na podstawę \(\displaystyle{ ABCD}\)

uzasadnij, że \(\displaystyle{ EB=ED}\)

wraz z równościami \(\displaystyle{ AB=AD}\) i \(\displaystyle{ CB=CD}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ ACE}\) jest płaszczyzną symetralną odcinka \(\displaystyle{ BD}\)

dalej dasz sobie radę