ostrosłup trójkątny
-
vital
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 10 cze 2013, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
ostrosłup trójkątny
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8. Krawędź boczna długości 8 poprowadzona z wierzchołka kata prostego podstawy jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa zawierającej przeciwprostokątną podstawy do płaszczyzny podstawy.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
ostrosłup trójkątny
Jeśli wykonamy rysunek to przekonamy się że
\(\displaystyle{ tg(\alpha) = \frac{8}{h}}\) (1)
gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest długością wysokości trójkąta prostokątnego (podstawy), wyprowadzoną z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
Jeśli wykonamy rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 6, 8}\) i przeciwprostokątnej długości obliczonej z twierdzenia Pitagorasa równej \(\displaystyle{ 10}\) z wysokością \(\displaystyle{ h,}\) to aby obliczyć długość tej wysokości - korzystamy na przykład dwukrotnie ze wzoru Pitagorasa do trójkątów prostokątnych, dla których \(\displaystyle{ h}\) jest wspólną przyprostokatną, otrzymując równanie pierwiastkowe
\(\displaystyle{ \sqrt{8^2 -h^2} + \sqrt{6^2 - h^2} = 10.}\)
Rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ h = \frac{24}{5}}\) ( proszę sprawdzić!).
Po podstawieniu tej wartości do równania (1), otrzymujemy wartość tangensa miary kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy
\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}.}\)
Stąd wartość sinusa tego kąta jest równa:
\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{34}}= \frac{5\sqrt{34}}{34}.}\)
\(\displaystyle{ tg(\alpha) = \frac{8}{h}}\) (1)
gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest długością wysokości trójkąta prostokątnego (podstawy), wyprowadzoną z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
Jeśli wykonamy rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 6, 8}\) i przeciwprostokątnej długości obliczonej z twierdzenia Pitagorasa równej \(\displaystyle{ 10}\) z wysokością \(\displaystyle{ h,}\) to aby obliczyć długość tej wysokości - korzystamy na przykład dwukrotnie ze wzoru Pitagorasa do trójkątów prostokątnych, dla których \(\displaystyle{ h}\) jest wspólną przyprostokatną, otrzymując równanie pierwiastkowe
\(\displaystyle{ \sqrt{8^2 -h^2} + \sqrt{6^2 - h^2} = 10.}\)
Rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ h = \frac{24}{5}}\) ( proszę sprawdzić!).
Po podstawieniu tej wartości do równania (1), otrzymujemy wartość tangensa miary kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy
\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}.}\)
Stąd wartość sinusa tego kąta jest równa:
\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{34}}= \frac{5\sqrt{34}}{34}.}\)
Ostatnio zmieniony 15 gru 2016, o 20:58 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Tomuello
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lis 2016, o 20:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
ostrosłup trójkątny
Wkradł się mały błąd, przy \(\displaystyle{ 10}\) w równaniu nie powinno być kwadratu
\(\displaystyle{ \left| CD\right| =x\\\left| DB\right| =y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+h^2=b^2 \\ y^2+h^2=a^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=b^2-h^2 \\ y^2=a^2-h^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \sqrt{b^2-h^2} \\ y= \sqrt{a^2-h^2} \end{cases}\left| +}\)
\(\displaystyle{ x+y=\sqrt{b^2-h^2}+\sqrt{a^2-h^2}}\)
\(\displaystyle{ x+y}\) To oczywiście przeciwprostokątna, czyli \(\displaystyle{ 10}\)
\(\displaystyle{ 10= \sqrt{6^2-h^2} + \sqrt{8^2-h^2}}\)
Wynik poprawny co potwierdza pan wolfram
- AU
- 0EH22D7.png (503 Bajtów) Przejrzano 135 razy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+h^2=b^2 \\ y^2+h^2=a^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=b^2-h^2 \\ y^2=a^2-h^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \sqrt{b^2-h^2} \\ y= \sqrt{a^2-h^2} \end{cases}\left| +}\)
\(\displaystyle{ x+y=\sqrt{b^2-h^2}+\sqrt{a^2-h^2}}\)
\(\displaystyle{ x+y}\) To oczywiście przeciwprostokątna, czyli \(\displaystyle{ 10}\)
\(\displaystyle{ 10= \sqrt{6^2-h^2} + \sqrt{8^2-h^2}}\)
Wynik poprawny co potwierdza pan wolfram
- AU
- DmL3bxO.png (503 Bajtów) Przejrzano 135 razy
