Obliczanie długości krzywej przecięcia brył walcowych

[Ikandej]

Witam,

Potrzebuję pomocy z wyznaczeniem długości krzywej przecięcia brył walcowych (czerwona linia). Zakładając że mam dwa walce o średnicach 1 m zielony, 0,5 m żółty. Osie obrotu są względem siebie prostopadłe, natomiast oś obrotu walca żółtego jest przesunięta względem osi obrotu walca zielonego o 0,2 m. Podgląd na rysunku poniżej:

AU

28c3j7o.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 144 razy

Jakieś sugestie? W programie CAD jestem w stanie ją zmierzyć, ale potrzebuję również jej analitycznego rozwiązania.

[Kartezjusz]

Zapisz walce parametrycznie.

[kinia7]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{1}{4}\cos\varphi \\ y=\frac{1}{4}\sin\varphi\\z=\frac{1}{4}\sqrt{4-\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)^2} \end{cases}\quad\to\quad \begin{cases}x'=-\frac{1}{4}\sin\varphi \\ y'=\frac{1}{4}\cos\varphi\\z'=\frac{\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)\sin\varphi}{4\sqrt{4-\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)^2}} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ L=\int_0^{2\pi}\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\,d\varphi=2\int_0^{\pi}\frac{1}{4}\sqrt{1+\frac{\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)^2\sin^2\varphi}{4-\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)^2}}\,d\varphi=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\varphi}+\frac{\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)^2}{4-\left(\cos\varphi-\frac{4}{5}\right)^2}}\,\sin\varphi\,d\varphi=\left[\begin{array}{c}\cos\varphi=t\\\sin\varphi d\varphi=-dt\end{array}\right]=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\int_{-1}^1 \sqrt{\frac{1}{1-t^2}+\frac{\left( t-\frac{4}{5}\right)^2}{4- \left( t-\frac{4}{5}\right)^2}}\,dt \approx 1,72788}\)

[Ikandej]

Dokładnie o to chodziło!
Duży plus dla Ciebie Teraz jeszcze tylko muszę odcyfrować skąd jakie wartości liczbowe się wzięły, jako że mogę mieć różne kombinacje średnic i przesunięć.

[kinia7]

Promień większego walca \(\displaystyle{ R}\), mniejszego \(\displaystyle{ r}\), przesunięcie osi \(\displaystyle{ d}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cdot\cos\varphi \\ y=r\cdot\sin\varphi\\z=\sqrt{R^2-\left(r\cdot\cos\varphi-d\right)^2} \end{cases}}\)

we współrzędnych kartezjańskich byłoby tak
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\sqrt{r^2-x^2} \\ z=\sqrt{R^2-\left(x-d\right)^2} \end{cases}\quad\to\quad \begin{cases} y'=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \\ z'=\frac{-(x-d)}{\sqrt{R^2-\left(x-d\right)^2}} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L=2\int_{-r}^r\sqrt{1+(y')^2+(z')^2}\,dx=2\int_{-r}^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}+\frac{(x-d)^2}{R^2-\left(x-d\right)^2}}\,dx=}\)
\(\displaystyle{ =2\int_{-\frac14}^\frac14\sqrt{1+\frac{x^2}{\frac{1}{16}-x^2}+\frac{(x-\frac15)^2}{\frac14-\left(x-\frac15\right)^2}}\,dx \approx 1,727882}\)

[Ikandej]

Wiem, że teraz wyjdę na totalnego lenia i nieuka, ale pilnie potrzebuje dalszej pomocy z tym problemem. Nie pracowałem nigdy ze współrzędnymi kartezjańskimi, a z całek ze studiów niestety niewiele pamiętam.

Czy jest jakaś możliwość wstawienia tego w plik Excel?


I koleje pytanie, czy ten algorytm zadziała również w przypadku, jeżeli przesunięcie będzie wynosiło 0, ale średnice będą sobie równe? Tworzy nam się wtedy wycięcie V-kształtne w rzucie bocznym (mamy 2 wierzchołki ostre).