Dwa stożki wpisane w kulę

[tadu983]

W kulę wpisano dwa stożki o wspólnej podstawie. Kąt rozwarcia jednego z nich ma miarę \(\displaystyle{ \alpha \in (0^o,90^o)}\) , a drugiego \(\displaystyle{ 180^o-\alpha}\). Wyznacz stosunek objętości tych stożków.

Mi wychodzi\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{\alpha}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} }}\), a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\). Która jest poprawna.

[dec1]

Dobrze Ci wyszło

[tadu983]

No też mi się tak wydaje. Ale jak ktos moglby jeszcze potwierdzic to bylbym wdzięczny.

[Chewbacca97]

W zależności od tego, który stożek porównasz z którym, stosunek będzie równy:

a) \(\displaystyle{ \tg^{2} \frac{\alpha}{2}}\)

b) \(\displaystyle{ \ctg^{2} \frac{\alpha}{2}}\)

W przypadku b), po przekształceniach otrzymasz wynik z książki.

[tadu983]

r-promień podstawy stożka, h1,h2 - wysokości stożka
\(\displaystyle{ \frac{ h_{1} }{r}=\sin \frac{\alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ h_{2} }{r}=\sin ( 90^o - \frac{\alpha}{2})}\)

\(\displaystyle{ h_{1}=\sin \frac{\alpha}{2}\cdot r}\)

\(\displaystyle{ h_{2}=\sin (90^o - \frac{\alpha}{2})\cdot r}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_{\alpha} }{V_{180^o - \alpha}}= \frac{ \frac{1}{3}\pi r^2 h_{1} }{\frac{1}{3}\pi r^2 h_{2}}= \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin (90^o - \frac{\alpha}{2})}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}\)
no i skąd tutaj niby kwadrat?

[Chewbacca97]

Z powodu braku umiejętności obsługiwania programów typu geogebra rysunek wygląda jak wygląda...

Przyjmijmy: \(\displaystyle{ \alpha := \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \beta := \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}}\).
Na rysunku widać przekrój kuli i stożków.

\(\displaystyle{ \frac{a}{h} = \tg \frac{\alpha}{2} \Rightarrow h = \frac{a}{\tg \frac{\alpha}{2}} \\ \frac{a}{H} = \tg \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) \Rightarrow H = \frac{a}{\tg \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{a}{\ctg \frac{\alpha}{2} }}\)

W zależności czy badamy:

a) \(\displaystyle{ \frac{H}{h} = \frac{\tg \frac{\alpha}{2}}{\ctg \frac{\alpha}{2}} = \tg^2 \frac{\alpha}{2}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{h}{H} = \frac{\ctg \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}} = \ctg^2 \frac{\alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ \documentclass
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.9140481919701813,-1.2866966247673237)(8.444265416226498,5.436158197828188)
\pscircle(2.,2.){2.}
\psline(2.,0.)(2.,4.)
\psline(0.4363331976549092,0.7530252082564466)(3.544424639790363,0.7292708659952716)
\psline(0.4363331976549092,0.7530252082564466)(2.,0.)
\psline(2.,0.)(3.544424639790363,0.7292708659952716)
\psline(3.544424639790363,0.7292708659952716)(2.,4.)
\psline(2.,4.)(0.4363331976549092,0.7530252082564466)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{-1.5707963267948966}{-1.1296384311989907}{0.4318750421367559*cos(t)+2.|0.4318750421367559*sin(t)+4.}
\lineto(2.,4.)\closepath}
\psline(2.,0.7410745056800055)(3.544424639790363,0.7292708659952716)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{0.44115789559590585}{1.5707963267948968}{0.4318750421367559*cos(t)+2.|0.4318750421367559*sin(t)+0.}
\lineto(2.,0.)\closepath}
\psline(2.,0.7410745056800055)(2.,4.)
\psline(2.,0.7410745056800055)(2.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2.,0.)
\rput[bl](1.7789939325825663,-0.30777986259067447){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2.,4.)
\rput[bl](2.0525147926025116,4.140533071417919){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.4363331976549092,0.7530252082564466)
\rput[bl](0.49776464091019046,0.9014702553922441){\xdxdff{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3.544424639790363,0.7292708659952716)
\rput[bl](3.607264944294833,0.8726785859164603){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](2.0669106273404037,3.3631579955717568){\qqwuqq{$\alpha$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,0.7410745056800055)
\rput[bl](2.585160677904511,0.8150952469648928){$a$}
\rput[bl](2.326035652622457,0.39761603956602803){\qqwuqq{$\beta$}}
\rput[bl](1.7789939325825663,2.2690745554919736){$h$}
\rput[bl](1.7645980978446745,0.3832202048281361){$H$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{document}}\)

[tadu983]

Masakra. Masz racjre. Coś się uparłem z tym sinusem.