przekrój sfery i płaszczyzny

[leszczu450]

Cześć!

Za zadanie mam narysować obiekt, który spełnia poniższy układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+z^2=4 \\ x+y+z=1 \end{cases}}\)

Będzie to przecięcie sfery(o środku w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=2}\)) oraz płaszczyzny, która przechodzi przez punktu \(\displaystyle{ (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}\). To będzie okrąg, leżący na tej płaszczyźnie, ale nie wiem, jak wyznaczyć jego środek i promień. Proszę o podpowiedź.

Z góry dzięki za pomoc : )

[miodzio1988]

Na doktoranckie studia się wybieramy, co?

Z drugiego równania wyznacz \(\displaystyle{ z}\) i wstaw do pierwszego.

[leszczu450]

miodzio1988, dzięki : ) A co do studiów, to jeszcze myślę : ) jak widzisz sporo nauki przede mną!

[miodzio1988]

Tych zaległości już nie nadrobisz, przewidziałem Ci to kiedyś, ale się nie słuchałeś

No nic, powodzenia

[leszczu450]

miodzio1988, spokojnie spokojnie : ) Miło z Twojej strony, że się tak martwisz wróżbito!

[Santiago A]

Sam środek wyznaczyć nie jest trudno - wystarczy zauważyć, że musi on leżeć na normalnej płaszczyzny zadanej równaniem \(\displaystyle{ x+y+z = 1}\), która przechodzi przez początek układu współrzędnych, jest zatem postaci \(\displaystyle{ (a,a,a)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ a+a+a = 1}\) (ponieważ cały okrąg leży na płaszczyźnie, a z nim i środek).

Wyznacz jeszcze jeden przypadkowy punkt leżący na okręgu. Proponuję podstawić \(\displaystyle{ x = 1}\), wtedy musisz rozwiązać równań układ \(\displaystyle{ y^2 + z^2 = 3}\), \(\displaystyle{ y = -z}\).

[leszczu450]

Santiago A, o! super : ) Dzięki wielkie za pomoc! A co jeżeli płaszczyzna byłaby pod innym kątem? Takim, że środek okręgu nie leżałby w taki "ładny" sposób jak tutaj?