Czworościan - optymalizacja

[kerajs]

Proszę podać dowód jednej z dwóch równoważnych tez:
Czworościan opisany na sferze o promieniu r ma najmniejsze (najmniejszą) pole (objętość) gdy jest foremny.

[Peter Zof]

Wkazówka: rozważ dowolny czworościan wpisany w sferę. Objętość czworościanu to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}Ah}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) to wysokość czworościanu, a \(\displaystyle{ A}\) to pole podstawy. Wybierz teraz dowolną ścianę tego czworościanu, jeśli możesz ściągnąć pewien wierzchołek tej ściany (na sferze) tak, że zwiększy się wysokość to znaczy, że zwiększy się objętość, a więc nie jest to maksymalny czworościan. Teraz zastanów się, co się musi stać, aby nie dało się już zwiększyć objętości czworościanu