Spodek wysokości

[Milczek]

Mam taki problem. Jak mam szukać punktu który jest spodkiem wysokości w bryłach?

Zapewne jest to różne od postawy ale weźmy na przykładzie trójkąta.

Wiem że gdy ściany są nachylone pod tym samym kątem to spodek wysokości jest w punkcie przecięcia dwusiecznych. Bryły prawidłowe nie są raczej ciężkim przypadkiem.
Ale np. kiedy spodkiem wysokości bryły jest punkt przecięcia środkowych?

[piasek101]

Bryły prawidłowe nie mogą być wcale przypadkiem bo mają określone podstawy.

Jeśli spodek jest gdziekolwiek to musi być to dokładnie opisane i ogólnej recepty jak go szukać brak.

[Zahion]

Istnieją dwie możliwości ( realno maturalne ):

1) Stosujemy twierdzenia :
Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe ( lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty ) to na postawie można opisać okrąg, którego środkiem jest spodek wysokości ostrosłupa.
Jeśli wszystkie ściany boczne tworzą z podstawą równe kąty ( lub jeśli ich wysokości są równe ) to w podstawe można wpisać okrąg, którego środkiem jest spodek wysokości.

2) Jeżeli nie można ich zastosować to trzeba pomyśleć ( rzadko tak jest, ale bywa na maturze ). Mianowicie prawdopodobnie wtedy prowadząc wysokość w obrębie podstawy naszej bryły utworzą się nam dwa trójkąty przystające ( np. jeżeli takowe będą przy podstawie, która będzie kwadratem to wiemy, że spodek jest gdzieś na jednej z przekątnych, ponieważ będziemy mieć dwa trójkąty przystające, a co za tym idzie odległości \(\displaystyle{ |AI|, |CI|}\) są równe, więc jeżeli jest to kwadrat, to musi owy spodek leżeć na przekątnej \(\displaystyle{ BD}\). Tak samo jak będzie trójkąt równoramienny można wnioskować etc.
U góry jest próba opisania tego na " chłopski rozum ", za wszelakie niedociągnięcia przepraszam i o ile będą kłopoty to uszczegółowie.
PS. Nadto w tym drugim przypadku raczej w zadaniu podają, że któreś krawędzie boczne są równe, wtedy już wiemy jakie trójkąty będą naszymi szukanymi.