Objętość ostrosłupa o podstawie trójkąta prostokątnego

[desperate]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 15. Wysokość ostrosłupa jest równa 3. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Powinno wyjść 54, proszę o pomoc do maturki

[Chewbacca97]

Co nam daje to, że wszystkie ściany boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem?

[janusz47]

Wtedy spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku ....?

[desperate]

Co nam daje to, że wszystkie ściany boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem?

Tego właśnie nie wiem, nie widzę powiązania ze spadkiem wysokości (w środku przeciwprostokątnej;) )

[Chewbacca97]

Jeśli wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy ostrosłupa pod tym samym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę.

Jeśli natomiast wszystkie krawędzie boczne nachylone są do podstawy ostrosłupa pod tym samym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

[desperate]

Naprawdę? Łał, to się w sumie przyda haha, dziękuję bardzo!

[janusz47]

Niech ten promień ma długość \(\displaystyle{ r.}\)

Ponieważ wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone pod kątem \(\displaystyle{ 45^{o}}\) to zauważamy, że długość tego promienia jest równa wysokości ostrosłupa \(\displaystyle{ h =3 = r.}\)

Dla trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ 2r +c = a+b}\) ( twierdzenie o stycznych do okręgu)

Stąd \(\displaystyle{ a+b = 2\cdot 3 +15 =21.}\)

Obwód trójkąta prostokątnego

\(\displaystyle{ 2p =a+b+c = 21 +15 = 36.}\)

\(\displaystyle{ p = \frac{a+b+c}{2}= \frac{36}{2}= 18.}\)

Pole podstawy \(\displaystyle{ P = p\cdot r = 18\cdot 3 = 54.}\)

Objętość ostrosłupa \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}P\cdot h.}\)

\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\cdot 54 \cdot 3 = 54.}\)