graniastosłup prawidłowy czworokątny cosinus

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 3 kwie 2016, o 20:05

Objętośc graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(\displaystyle{ 16}\), a pole powierzchni całkowitej to \(\displaystyle{ 32}\). Oblicz cosinus kąta utworzonego przez przekątne ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka graniastosłupa.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 3 kwie 2016, o 22:31

Wrzuciłem w wolframa dane równania i wymiar ujemny wychodzi.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 3 kwie 2016, o 23:24

Niech

\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy gran.

\(\displaystyle{ h}\) - wysokość gran.

Z danych zadania wynika układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2h=16 \\ 2a^2+4ah=32 \end{cases}}\)

skąd wyliczamy \(\displaystyle{ a \ \mbox{i} \ h}\)

Rozpatrzmy trójkąt równoramienny utworzony przez obie przekątne ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka graniastosłupa i przekątną podstawy. Jak łatwo dostrzec, podstawa \(\displaystyle{ d}\) tego trójkąta jest równa

\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\)

a jego boki \(\displaystyle{ c \ \mbox{i} \ d}\)

\(\displaystyle{ c=d= \sqrt{a^2+h^2}}\)

Mamy więc trójkąt równoramienny o znanych bokach. No to teraz tw. cosinusów i już.

-- 3 kwi 2016, o 22:33 --

piasek101 mówi, że wolfram twierdzi, że rozwiązanie (czyli ten szukany cosinus) jest ujemne, co wskazuje, że ten kąt jest rozwarty (kąt w II ćwiartce), a taki kąt między przekątnymi ścian bocznych jest niemożliwy.

Być może to samo wyjdzie z proponowanych przeze mnie obliczeń.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 kwie 2016, o 08:08

,,Wymiar ujemny" - nie chodziło o cosinusa, a miarę krawędzi.

Spróbuj rozwiązać układ, który podajesz - zobaczysz co jest grane.