Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kmmc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 55 razy

Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: kmmc »

W kulę wpisano dwa stożki o wspólnej podstawie. kąt rozwarcia jednego z nich ma miarę \(\displaystyle{ \alpha \in (0^{o} ; 90^{o})}\) a drugiego \(\displaystyle{ 180^{o} - \alpha}\). Wyznacz stosunek objętości tych stożków.

Promień podstawy taki sam. W tym stosunku trzeba wziąć Wysokość stożka górnego i dolnego. Więc z trójkąta bierzemy funkcję trygonometryczne...

\(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2} =\frac{r}{H}}\)
\(\displaystyle{ H=\sin \frac{\alpha}{2} r}\)

Promienie się skracają...

wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{ \beta }{2} }{\sin \frac{ \alpha }{2} }}\)


Skracając wychodzi: \(\displaystyle{ \ctg \frac{ \alpha }{2}}\)

w odpowiedziach jest coś innego - \(\displaystyle{ \frac{1+\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}\)

a \(\displaystyle{ \ctg \frac{ \alpha }{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\)

co jest źle?
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2018, o 01:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: dec1 »

Mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{r}{H}=\tg\frac{\alpha}{2}}\) i w rezultacie \(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}=\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\).
kmmc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 55 razy

Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: kmmc »

to jeszcze inaczej
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: dec1 »

No więc poszukałem i wielu innym wychodzi to samo:
[ciach]
https://www.matematyka.pl/334886.htm
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2018, o 01:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
kmmc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 55 razy

Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: kmmc »

możliwe, że jest błąd w odpowiedziach... ta książka to naprawdę dziadostwo... w tym samym dziale już chyba 3 błędy wynalazłem
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: kruszewski »

Wynik Kolegi dec`a1:

\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}=\tg^2\frac{\alpha}{2}}\)

jest poprawny, zaś

\(\displaystyle{ \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)

jest zgodny z tablicowym tangensa kąta połówkowego po podniesieniu stron do kwadratu.

Pozwolę sobie dodać uwagę, że znajomość twierdzenia Pappusa - Guldina przy oznaczeniach jak na rysunku pozwala na natychmiastową odpowiedź na pierwszą część zadania.
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{b}{2R-b}}\)

z28ad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 27 mar 2020, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: z28ad »

kmmc pisze: 2 kwie 2016, o 23:59 możliwe, że jest błąd w odpowiedziach... ta książka to naprawdę dziadostwo... w tym samym dziale już chyba 3 błędy wynalazłem
Prawie 4 lata, ale striggerowało mnie to. W książce jest podana odwrotność odpowiedzi, którą wszyscy na tym forum podają. Odpowiedź w tym zbiorze jest prawidłowa. Nie wiedzieć czemu każda osoba założyła że \(\displaystyle{ V_{1}}\) to stożek o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ \beta}\), podczas gdy pierwszym kątem podanym w poleceniu jest kąt \(\displaystyle{ \alpha }\), toteż naturalnie stożkiem pierwszym czyli znajdującym się w liczniku stosunku powinien być stożek o kącie \(\displaystyle{ \alpha }\).

Pozdrawiam serdecznie i radzę zweryfikować pozostałe 3 błędy, które wynalazłeś w tym dziale.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 21:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie

Post autor: Jan Kraszewski »

To, który stożek jest pierwszy, nie ma większego znaczenia. Skoro jesteśmy pytani o "stosunek objętości stożków", to obie odpowiedzi są poprawne.

JK
ODPOWIEDZ