W kulę wpisano dwa stożki o wspólnej podstawie. kąt rozwarcia jednego z nich ma miarę \(\displaystyle{ \alpha \in (0^{o} ; 90^{o})}\) a drugiego \(\displaystyle{ 180^{o} - \alpha}\). Wyznacz stosunek objętości tych stożków.
Promień podstawy taki sam. W tym stosunku trzeba wziąć Wysokość stożka górnego i dolnego. Więc z trójkąta bierzemy funkcję trygonometryczne...
\(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2} =\frac{r}{H}}\)
\(\displaystyle{ H=\sin \frac{\alpha}{2} r}\)
Promienie się skracają...
wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{ \beta }{2} }{\sin \frac{ \alpha }{2} }}\)
Skracając wychodzi: \(\displaystyle{ \ctg \frac{ \alpha }{2}}\)
w odpowiedziach jest coś innego - \(\displaystyle{ \frac{1+\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}\)
a \(\displaystyle{ \ctg \frac{ \alpha }{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\)
co jest źle?
Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 55 razy
Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2018, o 01:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
Mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{r}{H}=\tg\frac{\alpha}{2}}\) i w rezultacie \(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}=\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\).
Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2018, o 01:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 8 sty 2016, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 55 razy
Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
możliwe, że jest błąd w odpowiedziach... ta książka to naprawdę dziadostwo... w tym samym dziale już chyba 3 błędy wynalazłem
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
Wynik Kolegi dec`a1:
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}=\tg^2\frac{\alpha}{2}}\)
jest poprawny, zaś
\(\displaystyle{ \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)
jest zgodny z tablicowym tangensa kąta połówkowego po podniesieniu stron do kwadratu.
Pozwolę sobie dodać uwagę, że znajomość twierdzenia Pappusa - Guldina przy oznaczeniach jak na rysunku pozwala na natychmiastową odpowiedź na pierwszą część zadania.
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{b}{2R-b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}=\tg^2\frac{\alpha}{2}}\)
jest poprawny, zaś
\(\displaystyle{ \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)
jest zgodny z tablicowym tangensa kąta połówkowego po podniesieniu stron do kwadratu.
Pozwolę sobie dodać uwagę, że znajomość twierdzenia Pappusa - Guldina przy oznaczeniach jak na rysunku pozwala na natychmiastową odpowiedź na pierwszą część zadania.
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{b}{2R-b}}\)
Re: Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
Prawie 4 lata, ale striggerowało mnie to. W książce jest podana odwrotność odpowiedzi, którą wszyscy na tym forum podają. Odpowiedź w tym zbiorze jest prawidłowa. Nie wiedzieć czemu każda osoba założyła że \(\displaystyle{ V_{1}}\) to stożek o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ \beta}\), podczas gdy pierwszym kątem podanym w poleceniu jest kąt \(\displaystyle{ \alpha }\), toteż naturalnie stożkiem pierwszym czyli znajdującym się w liczniku stosunku powinien być stożek o kącie \(\displaystyle{ \alpha }\).
Pozdrawiam serdecznie i radzę zweryfikować pozostałe 3 błędy, które wynalazłeś w tym dziale.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 21:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Dwa stożki w kuli o wspólnej podstawie
To, który stożek jest pierwszy, nie ma większego znaczenia. Skoro jesteśmy pytani o "stosunek objętości stożków", to obie odpowiedzi są poprawne.
JK
JK