dowód funkcje trygonometryczne

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

dowód funkcje trygonometryczne

Post autor: wielkireturner »

Podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCS}\) jest trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym kąt ostry między ramionami \(\displaystyle{ AB,AC}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Ściana boczna \(\displaystyle{ BCS}\) jest przystająca do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wykaż, że krawędź \(\displaystyle{ BS}\) tworzy z krawędzią \(\displaystyle{ AB}\) kąt \(\displaystyle{ \beta}\) taki, że \(\displaystyle{ \cos \beta = \sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

dowód funkcje trygonometryczne

Post autor: piasek101 »

Szukany cosinus wyznaczymy z tw. cosinusów w trójkącie ASB.

W tym celu wyznaczyć sinusa (tego z odpowiedzi) np z trójkąta ABC.

AS uzależnić od wysokości trójkątów ABC i BCS (takie same), a te od boków tych trójkątów.
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

dowód funkcje trygonometryczne

Post autor: wielkireturner »

A czy powinienem rozważyć \(\displaystyle{ 4}\) możliwe układy tych boków, które mają identyczną długość?
edit: Rozważając jeden z wariantów otrzymałem, że teza jest równoważna równaniu \(\displaystyle{ \sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha = 1 - 4 \sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha + 4 \sin ^{4} \frac{1}{2} \alpha}\), z którym nie za bardzo wiem, co zrobić. Ach, i jest to wariant zgodny z tym, które boki są ramionami trójkąta z treści zadania.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

dowód funkcje trygonometryczne

Post autor: piasek101 »

Po czasie - nie zauważyłem 4 wariantów.
ODPOWIEDZ