Oblicz pole największej ściany ostrosłupa

vergil · Post autor: **vergil** » 28 mar 2016, o 15:59

Polecenie: Ostrosłup ABCS ma w podstawie trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa. Wiedząc, że objętość ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ 24 \sqrt{3}}\) oblicz pole największej ściany bocznej.

Moje pierwsze pytanie brzmi: czy nie jest to czasem ostrosłup prawidłowy trójkątny skoro ma w podstawie trójkąt równoboczny?

Nie wiem też jak to narysować, by krawędź była wysokością ostrosłupa.

Jedyne co zrobiłem, to policzyłem H
\(\displaystyle{ 24 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{36 \sqrt{3} }{4} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ H = 8}\)
I nie wiem co dalej. Ktoś pomoże?

dec1 · Post autor: **dec1** » 28 mar 2016, o 16:11

Edit4: Wysokość jest dobrze. Nie jest to ostrosłup prawidłowy.

\(\displaystyle{ c^2=8^2+6^2}\)

Przepraszam, śpię jeszcze.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 28 mar 2016, o 16:38

To nie jest ostrosłup prawidłowy, bo jedna z jego krawędzi bocznych jest jego wysokością. Dwie ściany boczne są trojkątami prostokatnymi, a trzecia - trojkątem równoramiennym, którego bokami są przeciwprostokątne tych trójkątów prostokątnych, a podstawą - krawędź podstawy ostrosłupa. Narysuj to sobie. Z pewnością dalej sobie poradzisz.

dec1 · Post autor: **dec1** » 28 mar 2016, o 16:43

Dilectus, \(\displaystyle{ P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}\).

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 28 mar 2016, o 16:46

dec1, masz rację, już poprawiłem. Dziękuję.

vergil · Post autor: **vergil** » 28 mar 2016, o 18:10

Dilectus pisze:To nie jest ostrosłup prawidłowy, bo jedna z jego krawędzi bocznych jest jego wysokością. Dwie ściany boczne są trojkątami prostokatnymi, a trzecia - trojkątem równoramiennym, którego bokami są przeciwprostokątne tych trójkątów prostokątnych, a podstawą - krawędź podstawy ostrosłupa. Narysuj to sobie. Z pewnością dalej sobie poradzisz.

Czyli mam trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 8,8,6,}\) tak?
Wtedy \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{55} \cdot 6 = 3 \sqrt{55}}\)

dec1 · Post autor: **dec1** » 28 mar 2016, o 18:21

Boki w tym ostrosłupie to \(\displaystyle{ 6,6,6,8,c,c}\) Pierwsze trzy to boki podstawy ostrosłupa, \(\displaystyle{ 8}\) to wysokość a \(\displaystyle{ c}\) to krawędź boczna niebędąca wysokością. Oblicz \(\displaystyle{ c}\), zobacz która ściana jest największa i oblicz jej pole.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 28 mar 2016, o 18:27

\(\displaystyle{ AS=H=8}\)

\(\displaystyle{ AB=6}\)

\(\displaystyle{ BS=CS= \sqrt{6^2+8^2}=10}\)

Teraz policz, która ściana ma największe pole.

vergil · Post autor: **vergil** » 28 mar 2016, o 18:43

Czyli mam trójkąt 10,10,6
i \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{91} \cdot 6 = 3 \sqrt{91}}\)
Zgadza się teraz?

dec1 · Post autor: **dec1** » 28 mar 2016, o 18:57

Zgadza.