Udowodnienie własności w czworoscianie.

qweyuiooo · Post autor: **qweyuiooo** » 27 mar 2016, o 14:19

Witam, mam problem z pewnym zadaniem, prosiłbym o małą pomoc
Dany jest czworościan, którego cztery wysokości przecinają się w jednym punkcie. Udowodnij,
że każde dwie skośne krawędzie tego czworościanu są prostopadłe.

Pinionrzek · Post autor: **Pinionrzek** » 27 mar 2016, o 20:23

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie tym czworościanem. Przez \(\displaystyle{ H}\) oznaczmy punkt przecięcia jego wysokości. Niech \(\displaystyle{ XYZ}\) oznacza płaszczyznę przechodząc przez punkty \(\displaystyle{ X,Y,Z}\). Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ BH \perp ACD, CH \perp ABD}\), więc \(\displaystyle{ BH \perp AD, \ CH \perp AD}\), czyli \(\displaystyle{ BHC \perp AD}\), co należało pokazać. Analogicznie wykazujemy tę własność dla pozostałych krawędzi.