elementarne wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni kuli

azonips · Post autor: **azonips** » 25 mar 2016, o 22:20

Ciekawi mnie czy istnieje jakiś elementarne uzasadnienie wzoru na pole powierzchni kuli. Przez elementarne rozumiem takie, które można wyłożyć uczniom gimnazjum (np. wzór na objętość kuli można uzasadnić odwołując się do intuicyjnej zasady Cavaleriego: ... eriego.pdf)

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 25 mar 2016, o 22:43

Może tak:
jeżeli powierzchnię S kuli podzielimy na maleńkie sześciokąty o powierzchni s i ich wierzchołki połączymy ze środkiem kuli to otrzymamy ostrosłupy
jeśli s dąży do zera to wysokość ostrosłupa dąży do R kuli
objętość ostrosłupa to \(\displaystyle{ v=\frac13sR}\)
objętość kuli to suma objętości wszystkich ostrosłupów, więc
\(\displaystyle{ V= \sum v=\frac{1}{3}R\sum s=\frac{1}{3}RS}\)
wiemy, że \(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}\pi R^3\quad \rightarrow \quad \frac{1}{3}RS=\frac{4}{3}\pi R^3\quad \rightarrow \quad S=4\pi R^2}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 25 mar 2016, o 23:16

azonips · Post autor: **azonips** » 6 kwie 2016, o 21:20

kinia7: dzięki, ale chodziło mi o uzasadnienie bez żadnych przejść granicznych itp.

a4karo: dzięki, własnie o to mi chodziło!

azonips · Post autor: **azonips** » 18 kwie 2016, o 19:21

co do tematu: znalazlem dzis taki filmik ... /giphy.gif

piobury · Post autor: **piobury** » 30 sie 2018, o 00:18

kinia7 pisze:Może tak:
jeżeli powierzchnię S kuli podzielimy na maleńkie sześciokąty o powierzchni s [...]

Może to głupie pytanie, ale... skąd wiemy, że powierzchnię sfery możemy podzielić na sześciokąty, co więcej o takim samym polu s?