ostrosłup prawidłowy czworokątny i płaszczyzna

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 20 mar 2016, o 06:48

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa \(\displaystyle{ 10}\), a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy \(\displaystyle{ \frac { \pi }{3}}\). Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Czy można to pole obliczyć bez żmudnych obliczeń?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 20 mar 2016, o 08:54

Tak, gdyż przekrój ostrosłupa przez wysokości niesąsiadujących ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Stąd Twój przekrój jest trapezem równoramiennym o podstawach \(\displaystyle{ 10 \ i \ 5}\) oraz wysokości \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\)

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 20 mar 2016, o 13:44

kerajs pisze:Tak, gdyż przekrój ostrosłupa przez wysokości niesąsiadujących ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Stąd Twój przekrój jest trapezem równoramiennym o podstawach \(\displaystyle{ 10 \ i \ 5}\) oraz wysokości \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\)

A w jaki sposób wynika, że trapez ma podstawy o takich długościach i wysokości z tego, że jeden z przekrojów jest trójkątem równobocznym?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 mar 2016, o 20:55

Nie jeden jest równoboczny.

Wynika z położenia przekroju - jedna podstawa to krawędź podstawy.

Co do drugiej i wysokości - kroisz ostrosłup przez wysokości przeciwległych ścian bocznych, przekrój będzie odcinkiem nachylonym do podstawy pod kątem trzydzieści, z tego masz ...

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 28 mar 2016, o 20:05

/Odświeżenie tematu
Próbowałem to zrobić tak przy oczekiwanym wyniku \(\displaystyle{ \frac{ 75 \sqrt{3} } {2}}\):
Obliczam wysokośc podstawy: \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\).
Mam \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty: jeden z bokami \(\displaystyle{ d}\),\(\displaystyle{ h}\), \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\) i kątem \(\displaystyle{ 60^{ \prime }}\) pomiędzy bokami o długości \(\displaystyle{ h}\), \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\). \(\displaystyle{ h}\) to wysokość ściany bocznej, \(\displaystyle{ d}\) to długość krawędzi bocznej. Teraz mam równanie z tw. cosinusów: \(\displaystyle{ d^{2} = h^{2} +75 - 5 \sqrt{} 3 h}\). Dodatkowo mam drugi trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ 5, h, d}\), stąd \(\displaystyle{ d^{2} = h^{2} + 25}\). Zatem \(\displaystyle{ h = \frac{10}{ \sqrt{3} }}\). Teraz mam trójkąt o bokach \(\displaystyle{ d, h, 5 \sqrt{3}}\), którego dwusieczną jest wysokość trójkąta utworzonego przez przekrój płaszczyzną z zadania. Stosując tw. Stewarta otrzymuję \(\displaystyle{ s=6}\). Stosunek odcinków na boku o długości \(\displaystyle{ d}\) obliczam z proporcji \(\displaystyle{ \frac{d-x}{x} = \frac{10}{5 \cdot 3}}\) Czy błąd tkwi tylko w obliczeniach?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 mar 2016, o 21:02

wielkireturner pisze: Próbowałem to zrobić tak przy oczekiwanym wyniku \(\displaystyle{ \frac{ 75 \sqrt{3} } {2}}\):
Obliczam wysokośc podstawy: \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\).

wielkireturner pisze:W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Dalej nie sprawdzałem.

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 28 mar 2016, o 23:21

piasek101 pisze:
wielkireturner pisze: Próbowałem to zrobić tak przy oczekiwanym wyniku \(\displaystyle{ \frac{ 75 \sqrt{3} } {2}}\):
Obliczam wysokośc podstawy: \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\).

wielkireturner pisze:W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym
Dalej nie sprawdzałem.

Przy krawędzi podstawy o długości 10, wysokość ma taką długość.Ach, tak, cóż, zrozumiałem.