Czworościan foremny

[Olka97]

W czworościanie foremnym o krawędzi długości 6 cm poprowadzono przekrój płaszczyzną przechodzącą przez wysokość podstawy i środek krawędzi bocznej niemającej punktów wspólnych z tą wysokością. Oblicz odległość płaszczyzny podstawy od punktu, w którym wysokość ostrosłupa przebija płaszczyznę przekroju.

Rysunek wykonać potrafię, jednak nie wiem jak się wziąć za obliczenia.

[Dilectus]

Coś chyba pokręciłaś, bo z rysunku wynika, że wysokość ostrosłupa przebija płaszczyznę przekroju na płaszczyźnie podstawy, a dokładnie na wysokości podstawy tego czworościanu, czyli szukana odległość płaszczyzny podstawy od punktu, w którym wysokość ostrosłupa przebija płaszczyznę przekroju jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Albo nie umiem rysować...

[macik1423]

Też mi się tak wydaje, że ta odległość to \(\displaystyle{ 0}\).

[Olka97]

Nic nie pokręciłam w treści zadania. To prawda, że dwie z czterech wysokości tego czworościanu będą przecinały tę płaszczyznę idealnie w spodku wysokości, czyli odległość ta będzie wynosiła 0. Trzecia wysokość będzie miała punkt wspólny z tą płaszczyzną tylko w wierzchołku, z którego wychodzi, jednak czwarta wysokość czworościanu będzie przechodziła gdzieś przez środek tej płaszczyzny i tam już możemy obliczyć tą odległość od podstawy.

[Dilectus]

Uff... Rozwiązałem. Obliczenia są dość skomplikowane i wymagają rysunku, dlatego ich nie przedstawię, chyba że tego zapragniesz. Na razie powiem, że odległość od podstawy do punktu przebicia tej płaszczyzny przez wysokość czworościanu wynosi

\(\displaystyle{ x=a \frac{2 \sqrt{30} }{15}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest długością krawędzi bocznej czworościanu.

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...

Wskazówka: Narysuj przekrój czworościanu płaszczyzną pionową przechodzącą przez wierzchołek i wysokość podstawy. Będzie to trójkąt równoramienny o podstawie równej wysokości ściany bocznej (a więc i podstawy czworościanu) \(\displaystyle{ h}\) i ramionach równych odpowiednio \(\displaystyle{ h \ \text{i} \ a}\), narysuj wysokość czworościanu \(\displaystyle{ H}\) i ślad wiadomej płaszczyzny. Przypatrz się temu, znajdź funkcje trygonometryczne odpowiednich kątów i wylicz \(\displaystyle{ x}\)

[norwimaj]

Nie chcę nikomu burzyć koncepcji rozwiązania, ale czy myślał ktoś o wpisaniu tego czworościanu w sześcian?

[Dilectus]

Myślałem o tym, ale nic nie wymyśliłem, więc poszedłem inną drogą.

[Olka97]

narysuj wysokość czworościanu \(\displaystyle{ H}\) i ślad wiadomej płaszczyzny. Przypatrz się temu, znajdź funkcje trygonometryczne odpowiednich kątów i wylicz \(\displaystyle{ x}\)

Czym ma być ten ślad płaszczyzny? Zdaję sobie sprawę, że to zadanie jest dość skomplikowane. Od kilku dni nad nim siedzę i cały czas próbuję znaleźć stosunek w jakim ta płaszczyzna przecina wysokość czworościanu, co (według mnie) by rozwiązało sprawę.

[Dilectus]

Skoro narysowałaś przekrój, o którym mówiłem, to śladem płaszczyznu przechodzącej przez wysokość podstawy i środek krawędzi bocznej niemającej punktów wspólnych z tą wysokością będzie odcinekodcinek łączący dolny wierzchołek tego czworościanu z połową wysokości trójkąta.

Aby Ci to uzmysłowić, proponuję, żebyś narysowała ten przekrój, a więc trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym:

\(\displaystyle{ \left| AB\right|=\left| AC\right| =h}\), gdzie \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \left| BC\right|=a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest długością krawędzi bocznej czworościanu

Oznaczmy środek odcinka \(\displaystyle{ AC}\) jako \(\displaystyle{ D}\)

Tym śladem będzie odcinek \(\displaystyle{ BD}\).

[norwimaj]

Myślałem o tym, ale nic nie wymyśliłem, więc poszedłem inną drogą.

Wydaje mi się to dziwne, że świadomie wybierasz rozwiązania wymagające większej wyobraźni przestrzennej, ale mnie nic do tego. To Twój wybór.

To prawda, że dwie z czterech wysokości tego czworościanu będą przecinały tę płaszczyznę idealnie w spodku wysokości, czyli odległość ta będzie wynosiła 0.

Czy spodek każdej wysokości jest odległy o \(\displaystyle{ 0}\) od płaszczyzny podstawy? Ja treść rozumiem tak, że jest jedna ustalona płaszczyzna podstawy, a nie cztery różne płaszczyzny podstawy w zależności od tego, na którą wysokość patrzymy.

[Olka97]

\(\displaystyle{ \left| AB\right|=\left| AC\right| =h}\), gdzie \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

A nie przypadkiem \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)? Skoro ma to być wysokość podstawy/ściany bocznej, o ile dobrze rozumiem.

Tym śladem będzie odcinek \(\displaystyle{ BC}\).

Nie pojawiła się jakaś literówka?

[piasek101]

\(\displaystyle{ x=a \frac{2 \sqrt{30} }{15}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest długością krawędzi bocznej czworościanu.
Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...

Uważam, że się pomyliłeś - dla podanej krawędzi masz ok 4,38, jak dla mnie stanowczo za dużo.

Wczoraj na to patrzyłem, dzisiaj dokończyłem, mam (oczywiście niepotwierdzone) \(\displaystyle{ 0,5\sqrt 6}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\thicklines
\color{blue}
\qbezier(0,0)(48,16)(96,32)
\qbezier(80,80)(48,96)(16,112)
\qbezier(0,0)(8,56)(16,112)
\qbezier(96,32)(88,56)(80,80)
\qbezier(0,0)(40,40)(80,80)
\qbezier(96,32)(56,72)(16,112)
\thinlines
\color{black}
\qbezier(0,0)(0,40)(0,80)
\qbezier(0,0)(40,0)(80,0)
\qbezier(80,0)(80,40)(80,80)
\qbezier(0,80)(40,80)(80,80)
\qbezier(16,32)(16,72)(16,112)
\qbezier(16,32)(56,32)(96,32)
\qbezier(96,32)(96,72)(96,112)
\qbezier(16,112)(56,112)(96,112)
\qbezier(0,0)(8,16)(16,32)
\qbezier(80,0)(88,16)(96,32)
\qbezier(0,80)(8,96)(16,112)
\qbezier(80,80)(88,96)(96,112)
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(-10,-8){$A$}
\put(80,0){\circle*{3}}
\put(82,-8){$B$}
\put(96,32){\circle*{3}}
\put(98,30){$C$}
\put(16,32){\circle*{3}}
\put(18,33){$D$}
\put(0,80){\circle*{3}}
\put(-10,77){$E$}
\put(80,80){\circle*{3}}
\put(82,77){$F$}
\put(96,112){\circle*{3}}
\put(98,110){$G$}
\put(16,112){\circle*{3}}
\put(7,110){$H$}
\end{picture}}\)
Rozważmy czworościan \(\displaystyle{ ACFH}\) wpisany w sześcian \(\displaystyle{ ABCD EFGH}\) o krawędzi \(\displaystyle{ a.}\) Ustalmy, że podstawą czworościanu jest \(\displaystyle{ ACF.}\) Rozważamy przekrój zawierający wysokość podstawy opuszczoną z punktu \(\displaystyle{ F}\) i środek krawędzi \(\displaystyle{ AH,}\) czyli przechodzący przez następujące punkty: \(\displaystyle{ F,}\) środek kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) i środek kwadratu \(\displaystyle{ ADHE.}\)

Przekrój przez płaszczyznę \(\displaystyle{ DCFE}\) wygląda tak (czerwona kreska):

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\qbezier(-80,0)(0,0)(80,0)
\qbezier(0,0)(0,56.5685)(0,113.1371)
\qbezier(80,0)(80,56.5685)(80,113.1371)
\qbezier(0,113.1371)(40,113.1371)(80,113.1371)
\thicklines
\color{red}
\qbezier(-80,0)(0,56.5685)(80,113.1371)
\thinlines
\color{black}
\put(-80,0){\circle*{3}}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(-4,-9){$D$}
\put(80,0){\circle*{3}}
\put(82,-5){$C$}
\put(80,113.1371){\circle*{3}}
\put(82,110){$F$}
\put(0,113.1371){\circle*{3}}
\put(-10,110){$E$}
\put(0,56.5685){\circle*{3}}
\put(-18,24){$\frac{\sqrt2}2a$}
\put(-18,82){$\frac{\sqrt2}2a$}
\put(38,2){$a$}
\put(-42,2){$a$}
\end{picture}}\)

Zatem przekrój przez płaszczyznę \(\displaystyle{ ABCD}\) wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\qbezier(-80,0)(0,0)(80,0)
\qbezier(0,0)(0,-40)(0,-80)
\qbezier(80,0)(80,-40)(80,-80)
\qbezier(0,-80)(40,-80)(80,-80)
\thicklines
\color{red}
\qbezier(-80,0)(0,-26.6667)(80,-53.3333)
\thinlines
\color{black}
\put(-80,0){\circle*{3}}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(-4,2){$D$}
\put(80,0){\circle*{3}}
\put(82,2){$C$}
\put(80,-80){\circle*{3}}
\put(82,-84){$B$}
\put(0,-80){\circle*{3}}
\put(-10,-84){$A$}
\put(0,-26.6667){\circle*{3}}
\put(80,-53.3333){\circle*{3}}
\put(-13,-15){$\frac13a$}
\put(-13,-58){$\frac23a$}
\put(82,-31){$\frac23a$}
\put(82,-69){$\frac13a$}
\put(38,2){$a$}
\put(-42,2){$a$}
\end{picture}}\)

Przekrój wrysowany w sześcian wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\color{blue}
\qbezier(0,0)(48,16)(96,32)
\qbezier(80,80)(48,96)(16,112)
\qbezier(0,0)(8,56)(16,112)
\qbezier(96,32)(88,56)(80,80)
\qbezier(0,0)(40,40)(80,80)
\qbezier(96,32)(56,72)(16,112)
\thicklines
\color{red}
\qbezier(10.6667,21.3333)(48,16)(85.3333,10.6667)
\qbezier(85.3333,10.6667)(82.6667,45.3333)(80,80)
\qbezier(80,80)(42.6667,85.3333)(5.3333,90.6667)
\qbezier(5.3333,90.6667)(8,56)(10.6667,21.3333)
\thinlines
\color{black}
\qbezier(0,0)(0,40)(0,80)
\qbezier(0,0)(40,0)(80,0)
\qbezier(80,0)(80,40)(80,80)
\qbezier(0,80)(40,80)(80,80)
\qbezier(16,32)(16,72)(16,112)
\qbezier(16,32)(56,32)(96,32)
\qbezier(96,32)(96,72)(96,112)
\qbezier(16,112)(56,112)(96,112)
\qbezier(0,0)(8,16)(16,32)
\qbezier(80,0)(88,16)(96,32)
\qbezier(0,80)(8,96)(16,112)
\qbezier(80,80)(88,96)(96,112)
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(-10,-8){$A$}
\put(80,0){\circle*{3}}
\put(82,-8){$B$}
\put(96,32){\circle*{3}}
\put(98,30){$C$}
\put(16,32){\circle*{3}}
\put(18,33){$D$}
\put(0,80){\circle*{3}}
\put(-10,77){$E$}
\put(80,80){\circle*{3}}
\put(82,77){$F$}
\put(96,112){\circle*{3}}
\put(98,110){$G$}
\put(16,112){\circle*{3}}
\put(7,110){$H$}
\end{picture}}\)

W celu obliczenia wyniku zadania dla wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) kluczowe jest obejrzenie płaszczyzny \(\displaystyle{ ABGH}\).

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\qbezier(56.5685,0)(56.5685,40)(56.5685,80)
\qbezier(-56.5685,0)(-56.5685,40)(-56.5685,80)
\qbezier(-56.5685,0)(0,0)(56.5685,0)
\color{blue}
\qbezier(-56.5685,80)(0,80)(56.5685,80)
\qbezier(-56.5685,80)(-28.2843,40)(0,0)
\qbezier(56.5685,80)(28.2843,40)(0,0)
\color{green}
\thicklines
\qbezier(-11.3137,48)(-18.8562,42.6667)(-26.3987,37.3333)
\thinlines
\color{red}
\qbezier(-28.2843,0)(-14.1421,40)(0,80)
\color{black}
\qbezier(-56.5685,0)(0,40)(56.5685,80)
\qbezier(-56.5685,80)(0,40)(56.5685,0)
\put(-56.5685,0){\circle*{3}}
\put(-67,-5){$B$}
\put(56.5685,0){\circle*{3}}
\put(58,-5){$G$}
\put(-56.5685,80){\circle*{3}}
\put(-67,78){$A$}
\put(56.5685,80){\circle*{3}}
\put(58,78){$H$}
\put(-11.3137,48){\circle*{3}}
\put(-26.3987,37.3333){\circle*{3}}
\put(-66,37){$a$}
\put(-52,-12){$\frac{\sqrt2}4a$}
\put(-25,-12){$\frac{\sqrt2}4a$}
\put(18,-12){$\frac{\sqrt2}2a$}
\put(-36,85){$\frac{\sqrt2}2a$}
\put(17,85){$\frac{\sqrt2}2a$}
\end{picture}}\)

Wysokość podstawy to niebieski odcinek łączący punkt \(\displaystyle{ A}\) ze środkiem odcinka \(\displaystyle{ BG.}\) Pomiędzy tą wysokością a wysokością czworościanu zawartą w odcinku \(\displaystyle{ AG}\) mamy zielony odcinek, którego długość chcemy obliczyć, oraz \(\displaystyle{ \frac14}\) głównej wysokości czworościanu. Na oko widać, że stosunek długości zielonego odcinka do odcinka \(\displaystyle{ \frac14}\) wysokości czworościanu jest równy \(\displaystyle{ \frac25:\frac12.}\) Zatem szukana długość to \(\displaystyle{ \frac45\cdot\frac16|BH|= \frac{\sqrt6}{15}\cdot(a\sqrt2),}\) gdzie \(\displaystyle{ a\sqrt2}\) jest krawędzią czworościanu.

Wynik zadania dla wysokości poprowadzonej z punktu \(\displaystyle{ C}\) można uzyskać rozważając płaszczyznę \(\displaystyle{ BCHE.}\)

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \left| AB\right|=\left| AC\right| =h}\), gdzie \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

A nie przypadkiem \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)? Skoro ma to być wysokość podstawy/ściany bocznej, o ile dobrze rozumiem.

Tym śladem będzie odcinek \(\displaystyle{ BC}\).

Nie pojawiła się jakaś literówka?

Oczywiście, że to moje literówki. Przepraszam, już poprawiłem.

[poetaopole]

Odpowiedź brzmi: \(\displaystyle{ \frac{5}{8} \sqrt{6}}\)