Wyjasnienie wzoru iglica 2

[pw_vba]

Witam,
mam takie zadanie związane z instancjami elektrycznymi a dokładniej instalacją odgromową. Da dachu płaskim stoi chronione urządzenie o wymiarach l, b, h. Urządzanie chronimy iglicami o wysokości i odsuniętymi od środka krótszej krawędzi o odległość odstępu izolacyjnego s. Tocząca się kula symbolizuje uderzenie pioruna.
Rysunek toczonej kuli wygląda mniej więcej tak:


Chodzi o to aby kula toczona po dachu dotykając wierzchołków iglic oraz poziomu "0" jednocześnie była styczna do górnej krawędzi l chronionego urządzenia.

Dane:
r promień toczącej się kuli
l długość urządzenia
b szerokość urządzenia
h wysokość urządzenia
s odstęp izolacyjny

szukam:
i wysokość iglic
p głębokość wnikania

\(\displaystyle{ p=r- \sqrt{r ^{2}- \left( \frac{l+2s}{2} \right)^{2} }}\)
rysunek poglądowy:

wzór końcowy:
\(\displaystyle{ i = r-\sqrt{r ^{2}-\left(\sqrt{r ^{2} -(r-h)^{2}}+ \frac{b}{2} \right) ^{2}+\left( \frac{l}{2}+s \right) ^{2} }}\)

Na podstawie zadania https://www.matematyka.pl/404092.htm#p5415611
i twierdzenia Pitagorasa wyznaczyłem sobie x1 (błękitny trójkąt)
\(\displaystyle{ r ^{2} = x_{1} ^{2} + \left( r-h\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}}\)

Ze względu na potrzebę uwzględnienia szerokości urządzenia b oraz odstępu izolacyjnego s przekształcamy odległość x1 w wyliczoną wartość x poniżej, wyliczenie to jest matematycznie zrozumiałe z tw. Pitagorasa, jednak nie wiem dlaczego akurat tak to ma być wyliczone.
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \left(x_{1}+ \frac{b}{2}\right) ^{2} +\left( \frac{l}{2}+s \right)^{2} } }}\)
podstawiam x1
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+ \frac{b}{2}\right) ^{2} +\left( \frac{l}{2}+s \right)^{2} } }}\)
teraz znów z tw. Pitagorasa zaczynam wyznaczać i (trójkąt czerwony)
\(\displaystyle{ r ^{2} =x ^{2} + \left( r-i\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( r-i\right) ^{2}=r ^{2} -x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r-i= \sqrt{r ^{2} -x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ i=r- \sqrt{r ^{2} -x ^{2} }}\)
po podstawieniu x
\(\displaystyle{ i=r- \sqrt{r ^{2} -\left( \sqrt{ \left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+ \frac{b}{2}\right) ^{2} +\left( \frac{l}{2}+s \right)^{2} } }\right) ^{2} }}\)
i otrzymujemy końcową wersję.
\(\displaystyle{ i=r- \sqrt{r ^{2} - \left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+ \frac{b}{2}\right) ^{2} +\left( \frac{l}{2}+s \right)^{2} } }\right) }}\)

z tego wszystkiego nie rozumiem jak powstało x trójkąt zielony i dlaczego zostało przeniesione jako bok trójkąta czerwonego r , r-i, x

[pw_vba]

Poprawka końcowej wersji, brakowało jednego nawiasu: otrzymujemy końcową wersję.
\(\displaystyle{ i=r- \sqrt{r ^{2} - \left(\left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+ \frac{b}{2}\right) ^{2} +\left( \frac{l}{2}+s \right)^{2} } }\right) \right) }}\)