Rozwikłanie wzoru iglica

[pw_vba]

Witam,
mam takie dane:
r promień toczącej się kuli
l długość urządzenia
b szerokość urządzenia
h wysokość urządzenia
s odstęp izolacyjny
a przekątna urządzenia z odstępem izolacyjnym
szukam:
i wysokość iglicy

rysunek:


wzór:
\(\displaystyle{ i=r- \sqrt{r ^{2} - ( \sqrt{2rh- h^{2}} +a)^{2} }}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a=\sqrt{b ^{2} + l ^{2} }+s}\)

i próbuję go rozwikłać, skąd się wziął - z racji skończenia szkoły już dobrych kilkanaście lat temu ciężko mi to idzie i prosiłbym o pomoc.

Dokładniej chodzi i określenie wysokości \(\displaystyle{ i}\) (iglicy) dla okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) tak aby okrąg dotykając wierzchołka iglicy i lewej krawędzi prostopadłościanu tam gdzie dochodzi lewa strzałka od \(\displaystyle{ s}\) oraz był styczny do poziomu "0" podstawy (gdzieś daleko po lewej stronie).

Jeszcze jedne rysunek może to lepiej zobrazuje.

[SlotaWoj]

Wzór jest zły lub też odpowiada innemu rysunkowi.

Powinno być:

• \(\displaystyle{ i=h+r-\sqrt{r^2-a^2}}\)

gdzie:

• \(\displaystyle{ r-\sqrt{r^2-a^2}}\)

odległość (w pionie) punktu styku kuli z iglicą od punktu styku kuli z „lewym” narożnikiem urządzenia (oczywiście przy założeniu, że płaszczyzna styczna do kuli w tym punkcie jest pozioma – kula nie styka się z narożnikiem „na ostro”).

Edit:
Jak wynika z dyskusji poniżej, mało dokładnie przeczytałem temat zadania.

[pw_vba]

Witam, poniżej rozwiązanie dzięki pomocy kolegi "kruszewski", proste z twierdzenia Pitagorasa, a ja tutaj wyszukiwałem jakieś trójkąty wpisane, dwusieczne itp... ech ...
rysunek:


rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a=\sqrt{b ^{2} + l ^{2} }+s}\)
-czerwony trójkąt
\(\displaystyle{ r ^{2} =x ^{2} + \left( r-h\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} =r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}}\)
-zielony trójkąt
\(\displaystyle{ r ^{2} =\left(x+a\right) ^{2} + \left( r-i\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( r-i\right) ^{2} =r ^{2}-\left(x+a\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( r-i\right) ^{2} =r ^{2}-\left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+a\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r-i = \sqrt{r ^{2}-\left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+a\right) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ i = r-\sqrt{r ^{2}-\left(\sqrt{ r ^{2} - \left( r-h\right) ^{2}}+a\right) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ i = r-\sqrt{r ^{2}-\left(\sqrt{ r ^{2} - r ^{2} +2rh -h^{2}}+a\right) ^{2}}}\)
i ostatecznie
\(\displaystyle{ i = r-\sqrt{r ^{2}-\left(\sqrt{2rh -h^{2}}+a\right) ^{2}}}\)

jeszcze raz dziękuję za pomoc