Największa obj. czworościanu

Ares97 · Post autor: **Ares97** » 3 lut 2016, o 21:36

Mam problem z rozwiązaniem zadania:
W \(\displaystyle{ czworościanie}\) \(\displaystyle{ ABCS}\) krawędzie \(\displaystyle{ AC, AS, BC, BS, CS}\) mają tę samą dł. równą \(\displaystyle{ 1}\). Oblicz, jaka powinna być \(\displaystyle{ długość krawędzi}\) \(\displaystyle{ AB}\), aby \(\displaystyle{ obj. czworościanu}\) była największa.

ODP: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{2}}\)

Prosiłbym o wszelką pomoc/rozwiązanie.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 3 lut 2016, o 22:56

Wskazówka:

Objętość będzie największa, gdy ściany (trójkąty) \(\displaystyle{ ACS}\) i \(\displaystyle{ BCS}\) będą prostopadłe (łatwo to uzasadnić).

Ares97 · Post autor: **Ares97** » 3 lut 2016, o 23:39

Z tego co potrafiłem, to wyznaczyłem wzór na pole podstawy tj. |\(\displaystyle{ AD|=x}\), -> \(\displaystyle{ ABC}\) jest trójkątem równoramiennym i z tw. Pitagorasa policzyłem wysokość podstawy i wzór wygląda następująco: \(\displaystyle{ Pp= \frac{x \sqrt{4+ x^{2} }}{4}}\)
Mam teraz problem z wyznaczeniem wysokości bo jesli jest to tr. rownoramienny to jak moge "zrobić" trójkąt, z którego mógłbym wyznaczyć H przy pomocy f-kcji trygonometrycznych?

PS: Myślałem nad wyznaczeniem promienia okręgu opisanego na podstawie z tw. cosinusów -> sinusów, ale wydaje mi się, że to błędny pomysł.

Probowałem, też z trójkątem \(\displaystyle{ CSF}\)(gdzie \(\displaystyle{ F}\)to srodek \(\displaystyle{ |AB|}\)) i ten tr. jest rownoramienny, ale nie potrafie z tego zrobić zależnosci z kątami

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 4 lut 2016, o 00:06

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem krawędzi \(\displaystyle{ CS}\). Trzeba obliczyć długość przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ AB}\) prostokątnego trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABM}\).

Ares97 · Post autor: **Ares97** » 4 lut 2016, o 00:33

coś chyba zle obliczyłem bo wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{2}}\)
moje obliczenia:
z trójkąta \(\displaystyle{ ACM}\)obliczyłem\(\displaystyle{ |AM|= \frac{ \sqrt{5} }{2}}\) \(\displaystyle{ => |AB|= \frac{ \sqrt{10} }{2}}\)

PS: Jak moge uzasadnić, ze najwieksza obj. jest przy kącie prostym w tym czworościanie ( potrafie to udowodnic gdy w podstawie jest tr. rownoboczny bo wtedy najwieksza objetosc jest zalezna od sinusa, ale tutaj widze, ze tak jest, ale nie potrafie tego udowodnic zapisem przez ta podstawe)

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 4 lut 2016, o 00:45

\(\displaystyle{ \left|AM\right|=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Ares97 · Post autor: **Ares97** » 4 lut 2016, o 01:04

wielkie dzięki!

Jeszcze jedno, czy moge udowodnić to poprostu pisząc, ze najwieksza obj jest ,wtedy gdy kąt dwuscienny między ścianami bocznymi lub ścianą boczną a podstawą tworzy kąt prosty, ponieważ \(\displaystyle{ sin \alpha}\) ma największą wartość dla \(\displaystyle{ \alpha=90}\) ? Czy to nie jest reguła co do czworościanów i powinienem to jakoś wykazać?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 4 lut 2016, o 01:16

Podstawa i ściana boczna (po zmianie orientacji \(\displaystyle{ \Delta BCS}\) i \(\displaystyle{ \Delta ACS}\)) są przystające (nie muszą to być trójkąty równoboczne jak w temacie, ani nawet równoramienne), więc objętość będzie największa, gdy wysokość będzie największa, a to zachodzi gdy płaszczyzny tych ww. trójkątów są prostopadłe.