kąty w czworościanie foremnym.

[wedlos]

Witam, w jaki sposób można policzyć kąt pomiędzy prostymi wychodzącymi od wierzchołków czworościanu foremnego do jego środka??

Przygotowuje się do matury z chemii i występują tam związki o takiej budowie ,że 4 atomy umieszczone są w wierzchołkach czworościanu foremnego a atom główny w jego centrum[tetraedr], i zamiast uczyć się na pamięć ile wynoszą kąty pomiędzy poszczególnymi atomami chciałbym dowiedzieć się jak to matematycznie wyliczyć.

Z góry dziękuję za odpowiedź.


@edit

Chodzi dokładnie o obliczenie kątów pomiędzy atomami wodoru.

[SlotaWoj]

Jest to jednocześnie kąt pomiędzy krawędzią czworościanu foremnego i jego wysokością. Maturzysta powinien dalej sobie poradzić.

Edit:

Źle rozumiałem o który kąt chodzi i ww. wskazówka jest mało precyzyjna.
Oznaczając przez \(\displaystyle{ \alpha}\) kąt pomiędzy krawędzią i opuszczoną z któregoś z jej końców wysokością czworościanu foremnego, to kat \(\displaystyle{ \beta}\) między prostymi wychodzącymi ze środka czworościanu w kierunku jego wierzchołków jest równy:

• \(\displaystyle{ \beta=\pi-2\alpha}\)

[wedlos]

niestety sobie nie radzi :/

[SlotaWoj]

niestety sobie nie radzi :/

Tylko matura z matematyki jest obowiązkowa.

Mamy czworościan foremny o boku \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy równe \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}a}\) jest przyprostokątną w trójkącie o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ a}\) (krawędź czworościanu), a drugą przyprostokątną jest wysokość czworościanu. Stąd sinus kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) między wysokością czworościanu a krawędzią jest równy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}}\), a sam kąt \(\displaystyle{ \alpha=0,615479\mbox{ rad}=35,2643^\circ}\).

Kat \(\displaystyle{ \beta}\) między prostymi wychodzącymi ze środka czworościanu w kierunku jego wierzchołków jest równy:

• \(\displaystyle{ \beta=\pi-2\alpha=1,910633\mbox{ rad}=109,471^\circ}\)