Trójki Pitagorasa są znane:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są z N, czyli \(\displaystyle{ 1,2,3...}\)
Rozwiązanie jest tu oczywiście znane:
\(\displaystyle{ a=n^2-m^2;\,\ b=2nm}\)
Ok.
No ale jest także wersja ogólniejsza - 3D tego wzoru Pitagorasa (4D, itd. także są, no ale to nas nie interesuje).
\(\displaystyle{ A^2+B^2+C^2=D^2}\)
gdzie tym razem: \(\displaystyle{ A,B,C\ i\ D}\) są polami ścian czworościanu prostokątnego,
tz. takiego gdzie trzy ściany mają po 90 stopni do siebie,
czyli to taki narożnik, który w każdym domu mamy;
no a czarta ściana zamyka to, znaczy leci tak skośnie.
Przykładowo: czworościan o bokach przyprostokątnych: 1,1,1 ma czwartą ścianę, która przecina każdą osie w punkcie: 1,1,1 właśnie, czyli to jest chyba płaszczyzna typu:
\(\displaystyle{ X+Y+Z = 1}\)
Sprawdźmy czy tu funkcjonuje Pitagoras 3d:
pola trzech ścian są jednakowe: \(\displaystyle{ A = B = C = 1/2}\)
natomiast ta czwarta to trójkąt równoboczny o boku: \(\displaystyle{ c=\sqrt{2}}\)
zatem jego pole wynosi:
\(\displaystyle{ D = c^2\sqrt{3}/4=\sqrt{3}/2\,\to\ D^2 = 3/4}\)
Zatem jak widać zgadza się:
\(\displaystyle{ A^2+B^2+C^2=D^2 = 1/4+1/4+1/4=3/4}\)
W związku z tym nasuwa się oczywiste pytanie:
czy istnieją czworościany prostokątne całkowitoliczbowe - analogiczne do trójkątów Pitagorasa?
Zapewne tak... zatem jaka formuła funkcjonuje dla takich czworościanów - jak je generować?