nierówność w czoworościanie

[alfred0]

W dowolnym czworościanie pokaż że \(\displaystyle{ (\frac{1}{6}P_{c})^3 \geq \sqrt{3}V^2}\) gdzie

\(\displaystyle{ P_{c}}\) oznacza sumę pol czterech ścian czworościanu
\(\displaystyle{ V}\) oznacza objetość czworoscianu

[kerajs]

\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}P_{c})^3 \geq \sqrt{3}V^2}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}P_{c})^3 \geq \sqrt{3}( \frac{1}{3}P_{c} \cdot r)^2}\)
gdzie ,,r' to promień sfery wpisanej w czworościan
\(\displaystyle{ \frac{1}{24}P_{c} \geq \sqrt{3}r^2}\)
\(\displaystyle{ P_{c} \geq 4 \cdot 6\sqrt{3}r^2}\)
Przy danym ,,r' najmniejsze pole ma czworościan foremny (co wymagałoby osobnego dowodu)
\(\displaystyle{ P_{c} \geq P _{t}= 24 \sqrt{3}r^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ P _{t}}\) to pole tetraedru (czworościanu foremnego), a w nim
\(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{6} }{12}a \Rightarrow a= 2 \sqrt{6} r}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ P _{t}=4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} =\left( 2 \sqrt{6} r \right) ^2 \sqrt{3} =24 \sqrt{3}r^2}\)

[alfred0]

\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}P_{c})^3 \geq \sqrt{3}V^2}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}P_{c})^3 \geq \sqrt{3}( \frac{1}{3}P_{c} \cdot r)^2}\)
gdzie ,,r' to promień sfery wpisanej w czworościan
\(\displaystyle{ \frac{1}{24}P_{c} \geq \sqrt{3}r^2}\)
\(\displaystyle{ P_{c} \geq 4 \cdot 6\sqrt{3}r^2}\)
Przy danym ,,r' najmniejsze pole ma czworościan foremny (co wymagałoby osobnego dowodu)

|Ten dowód jak wykonać? bo reszta to na wzorach akurat

[alfred0]

aczeły sie wakacje a ja odswierze swoje posty. |Chętnie zobaczę rozwiązanie tego zadania. Nie ma pośpiechu, fajnie jak można by było je rozwiązać bez użycia komputera (chyba ze w osateczności).

[kerajs]

Chodzi Ci o dowód jednej z dwóch równoważnych tez:
Czworościan opisany na sferze o promieniu r ma najmniejsze (najmniejszą) pole (objętość) gdy jest foremny.

Niestety na razie nie wymyśliłem dowodu na to , wydaje się intuicyjnie że prawdziwe, stwierdzenie. Jak coś przyjdzie mi do głowy to tu wstawię .