Podstawa graniastosłupa prostego

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: Dario1 »

Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny jego podstawy pod kątami \(\displaystyle{ \beta,\gamma\left(\beta<\gamma \right)}\),a wysokość graniastosłupa ma długość \(\displaystyle{ H}\). Oblicz objętość graniastosłupa.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: janusz47 »

Z trójkątów prostokątnych, wykorzystując dane miary kątów \(\displaystyle{ \beta, \gamma}\) i długość krawędzi równą wysokości graniastosłupa \(\displaystyle{ H,}\) obliczasz funkcją tangens długości przekątnych równoległoboku (podstawy graniastosłupa).
Na podstawie długości przekątnych i miary kąta ostrego równoległoboku, stosując twierdzenie kosinusów - znajdujesz długość krótszego boku równoległoboku, jego wysokość, długość dłuższego boku i w końcu pole \(\displaystyle{ P.}\) Podstawiasz dane do wzoru na objętość graniastosłupa.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: Dario1 »

A możesz napisać to twierdzenie kosinusów? Bo coś mi to nie wychodzi.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: Kartezjusz »

Układy równań-Zapisz twierdzenie dla kąta ostrego i rozwartego.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: kerajs »

Ja bym nie rozwiązywał tego układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}p_1=a^2+b^2-2ab \cos \alpha \\ p_2=a^2+b^2+2ab \cos \alpha \end{cases}}\)
ale odjął równania stronami w celu wyliczenia iloczynu ,,ab' :
\(\displaystyle{ ab= \frac{p_2^2-p_1^2}{4 \cos \alpha }}\)
który potrzebny jest do pola podstawy graniastosłupa:
\(\displaystyle{ P=ab \sin \alpha = \frac{p_2^2-p_1^2}{4 \cos \alpha }\sin \alpha}\)
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: Dario1 »

Ok. Wyszło mi \(\displaystyle{ V= \frac{1}{4}H ^{3}\left( \ctg ^{2}\gamma-\ctg ^{2}\beta \right)\tg \alpha}\).
Zgadza się?
Obliczyłem to korzystając z tego iloczynu, ale chyba rozwiązywanie tego układu byłoby dość trudne, zgadza się?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: kerajs »

Z przyjemnością napiszę że jest policzone.....ŻLE !
Skoro \(\displaystyle{ 0<\beta <\gamma< \frac{ \pi }{2} \ \Rightarrow \ \ctg \beta > \ctg \gamma}\)
Prawidłowy wynik to :
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{4}H ^{3}\left( \ctg ^{2} \beta -\ctg ^{2}\gamma \right)\tg \alpha}\).
Teraz ta objętość, w odróżnieniu od Twojej, jest dodatnia.
Dario1 pisze: chyba rozwiązywanie tego układu byłoby dość trudne, zgadza się?
Raczej czasochłonne. Układ miałby kilka rozwiązań, z których ty wybrałbyś takie gdzie boki są dodatnie.
Wygodnie jest wprowadzić zmienne pomocnicze:
\(\displaystyle{ m=a+b \wedge n=ab}\)
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Podstawa graniastosłupa prostego

Post autor: Kartezjusz »

Do pola podstawy wystarczy tylko \(\displaystyle{ ab}\) boki znane być nie muszą
ODPOWIEDZ