stożek opisany i wpisany w kulę

[revage]

Tworząca stożka jest nachylenia do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \ 45}\). Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten stożek do objętości kuli na nim opisanej. Pomocy, nie wiem jak to zrobić

Ustaliłam że przekroj osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym a wiec promien okręgu opisanego na tym trójkącie równa się średnicy \(\displaystyle{ 2R}\). Oznaczyłam sobie boki tego trójkąta tak: przyprostokątne\(\displaystyle{ a,a}\), przeciwprostokatna \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\), a wiec \(\displaystyle{ 2R=a\sqrt{2}}\), czyli\(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\) i obliczylam objętość z tego promienia.
Nie wiem teraz jak obliczyć promien okręgu wpisanego.

[Ania221]

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym

\(\displaystyle{ 2R+2r=a+b}\)

gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) to przyprostokątne

[revage]

Czy jest jakaś inna metoda? W liceum nie wprowadzają tego twierdzenia.

[Ania221]

Wprowadzają. Jest w programie, i są na to zadania.
Poza tym, to nie jest twierdzenie i bardzo łatwo ten wzór wyprowadzić.
Inna metoda, poprzez pole trójkąta zależne od promienia okręgu wpisanego. To jest już w gimnazjum.

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}r(a+b+c)}\)