Dwa podobne ścięte stożki

[asign123]

Witam - mam takie zadanie :

Rozpatrzmy stożek ścięty (rysunek w linku ). którego podstawami są koła o promieniach \(\displaystyle{ r_{1}}\) i \(\displaystyle{ r_{2}.}\)
Płaszczyzna poprowadzona równolegle do postaw tego stożka dzieli go na dwa podobne stożki ścięte.
Uzasadnij że skala podobieństwa tych brył jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{r_{1} }{r_{2}} }}\)

Najlepszy pasujący rysunek jaki znalazłem na internecie -

Kod: Zaznacz cały

http://obliczeniowo.jcom.pl/rysunki/r_0

... kattempt=1
Promień dolnej podstawy to \(\displaystyle{ r_{2}.}\), górnej \(\displaystyle{ r_{1}}\), środkowej nie jest zaznaczony w rysunku w książce.

Pozdrawiam

[a4karo]

Narysuj przekrój i użyj twierdzenia Talesa

[SlotaWoj]

Środkowy promień trzeba wyznaczyć ze skali podobieństwa, podstawić i uprościć.

[asign123]

W tym temacie w książce mam dowód na podobieństwo: jeśli \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) to skala podobieństwa, to\(\displaystyle{ \frac{ P_{1} }{P_{2}} = \frac{a^2}{b^2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ V_{1} }{V_{2}} = \frac{a^3}{b^3}}\)

Załączam obrazek z częścią rozwiązania :


Objętości obliczone z wzoru na objętość ściętego stożka

Czy prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \frac{ r_{1} }{ r} = \frac{r}{ r_{2} }}\) ?? Jeśli tak to jak ją udowodnić ?

Wtedy ten stosunek objętości który zapisałem fajnie by się skracał i bym miał \(\displaystyle{ V_{1} }{V_{2}} = \frac{ h_{1} r_{1} }{ h_{2} r_{2} }}\)

A to już jest bliżej rozwiązania