Objętość sześcianu w ostrosłupie

[donquixote]

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy a i kącie nachylenia krawędzi bocznej do podstawy o mierze α wpisano sześcian tak, że 4 jego wierzchołki należą do wysokości ścian bocznych a podstawa zawiera się w podstawie ostrosłupa. Oblicz objętość tego sześcianu.

Proszę o pomoc-- 29 lis 2015, o 17:31 --?

[kropka+]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu jako \(\displaystyle{ b}\)

1. Z tangensa liczysz wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ h}\).
2. Robisz przekrój wzdłuż wysokości dwóch przeciwległych ścian.
3. Dostajesz trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\). W tym trójkącie jest umieszczony prostokąt o podstawach \(\displaystyle{ b \sqrt{2}}\) i bokach \(\displaystyle{ b}\) . Dolna podstawa tego prostokąta leży na podstawie trójkąta, a dwa górne wierzchołki leżą na ramionach trójkąta.
4. Z podobieństwa trójkątów dostajesz proporcję

\(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{a}{2} }= \frac{b}{ \frac{a-b \sqrt{2} }{2} }}\)

Z tego wyliczasz \(\displaystyle{ b}\), a potem objętość sześcianu.

[donquixote]

a na podstawie tego rysunku?

obrazek-matematyka.jpg (17.45 KiB) Przejrzano 147 razy

[kropka+]

Na tym rysunku jest źle zaznaczony kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa i przekątną podstawy (wierzchołkiem tego kąta jest wierzchołek podstawy).

[donquixote]

więc tutaj:

obrazek-matematyka.jpg (16.87 KiB) Przejrzano 145 razy

[kropka+]

Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest do niczego potrzebny.
Zrób po kolei to co napisałam.
1. Czemu jest równy \(\displaystyle{ \tg \alpha}\)?

[donquixote]

1. \(\displaystyle{ tg \alpha= \frac{h}{ \frac{a}{2} }}\)

[kropka+]

Nie. w mianowniku jest połowa przekątnej kwadratu, czyli?

[donquixote]

\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{h}{ \frac{a}{2 \sqrt{2} } }}\)

[kropka+]

Źle.
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} }}\)
Z tego wyznacz \(\displaystyle{ h}\)

[donquixote]

\(\displaystyle{ h= \frac{atg\alpha}{2 \sqrt{2} }}\)

[kropka+]

Przeczytaj mój poprzedni post.

[donquixote]

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} tg\alpha}{a} =h}\)

[kropka+]

Źle.

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} }}\)

Pomnóż to stronami przez \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

[donquixote]

\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} tg\alpha }{2} =h}\)