Witam
Czy jest ktośw stanie wyprowadzić wzór na objętość takiej oto bryły
Z góry dziękujęza pomoc. Będę wdzięczny za przesłanie całego toku wyprowdzania wzoru.
Pozdrawiam
Jak obliczyć objętość?
-
smiechowiec
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łostowice
- Pomógł: 146 razy
Jak obliczyć objętość?
W przypadku figur regularnych, istotne jest pole podstawy i wysokość
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi R^2 (H + h) - \frac{1}{3} \pi r^2 h}\)
gdzie h oznacza wysokość ściętego czubka stożka.
Z tw. Talesa mamy
\(\displaystyle{ \frac{R}{r} = \frac{H + h}{h} \\
R h = (H + h)r \\
(R - r)h = Hr \\
h = \frac{H r}{R - r}}\)
Podstawiając otrzymujemy
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi R^3 \frac{H}{R-r} - \frac{1}{3} \pi \frac{H r^3}{R - r}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi R^2 (H + h) - \frac{1}{3} \pi r^2 h}\)
gdzie h oznacza wysokość ściętego czubka stożka.
Z tw. Talesa mamy
\(\displaystyle{ \frac{R}{r} = \frac{H + h}{h} \\
R h = (H + h)r \\
(R - r)h = Hr \\
h = \frac{H r}{R - r}}\)
Podstawiając otrzymujemy
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi R^3 \frac{H}{R-r} - \frac{1}{3} \pi \frac{H r^3}{R - r}}\)
Ostatnio zmieniony 20 lip 2007, o 00:41 przez smiechowiec, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Loscar
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 17 lip 2007, o 10:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubartów
- Podziękował: 1 raz
Jak obliczyć objętość?
Czy aby napewno?- to nie jest stożek obrotowy. Wydaje mi się, że trzebaby to jakoś całkować, ale jak?
-
smiechowiec
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łostowice
- Pomógł: 146 razy
Jak obliczyć objętość?
Korzystając z rysunku wyznaczamy prostą przechodzącą przez środki podstaw pochylonego stożka ściętego.
Współrzędne 2 punktów to (R, 0) oraz (r, H).
Równanie prostej przechodzącej przez te punkty to
\(\displaystyle{ x = \frac{r-R}{H}y + R}\)
Całkujemy objętość bryły po zmiennej y od 0 do H.
\(\displaystyle{ V = t_{0}^{h}(\pi x^2 ) dy = \pi t_{0}^{h}( (\frac{r-R}{H}y + R)^2 ) dy = \\
\pi t_{0}^{h}( ({\frac{r-R}{H}y})^2 + 2R \frac{r-R}{H}y + R^2 ) dy = \\
|\pi ( ({\frac{r-R}{H})^2 \frac{y^3}{3}} + 2R \frac{r-R}{H} \frac{y^2}{2} + R^2 y ) |_{0}^{H} = \\
\pi ( ({\frac{r-R}{H})^2 \frac{H^3}{3}} + 2R \frac{r-R}{H} \frac{H^2}{2} + R^2 H ) = \\
\pi ( (r-R)^2 \frac{H}{3} + R (r-R) H + R^2 H ) =
\pi ( (r-R)^2 \frac{H}{3} + R r H - R^2 H + R^2 H ) = \\
\pi ( (r-R)^2 \frac{H}{3} + R r H) =
\pi ( (r^2 -2rR +R^2) \frac{H}{3} + R r H) = \\
\pi H ( (r^2 -2rR +R^2) \frac{1}{3} + \frac{3R r }{3}) =
\frac{\pi H}{3} ( r^2 + rR +R^2) = \\
\frac{\pi H (R^3 - r^3) }{3 (R - r)} =
\frac{1}{3} \pi H (\frac{ R^3 }{R - r} - \frac{r^3}{R - r}) =
\frac{1}{3} \pi R^3 \frac{H}{R - r} - \frac{1}{3} \pi \frac{H r^3}{R - r}}\)
Współrzędne 2 punktów to (R, 0) oraz (r, H).
Równanie prostej przechodzącej przez te punkty to
\(\displaystyle{ x = \frac{r-R}{H}y + R}\)
Całkujemy objętość bryły po zmiennej y od 0 do H.
\(\displaystyle{ V = t_{0}^{h}(\pi x^2 ) dy = \pi t_{0}^{h}( (\frac{r-R}{H}y + R)^2 ) dy = \\
\pi t_{0}^{h}( ({\frac{r-R}{H}y})^2 + 2R \frac{r-R}{H}y + R^2 ) dy = \\
|\pi ( ({\frac{r-R}{H})^2 \frac{y^3}{3}} + 2R \frac{r-R}{H} \frac{y^2}{2} + R^2 y ) |_{0}^{H} = \\
\pi ( ({\frac{r-R}{H})^2 \frac{H^3}{3}} + 2R \frac{r-R}{H} \frac{H^2}{2} + R^2 H ) = \\
\pi ( (r-R)^2 \frac{H}{3} + R (r-R) H + R^2 H ) =
\pi ( (r-R)^2 \frac{H}{3} + R r H - R^2 H + R^2 H ) = \\
\pi ( (r-R)^2 \frac{H}{3} + R r H) =
\pi ( (r^2 -2rR +R^2) \frac{H}{3} + R r H) = \\
\pi H ( (r^2 -2rR +R^2) \frac{1}{3} + \frac{3R r }{3}) =
\frac{\pi H}{3} ( r^2 + rR +R^2) = \\
\frac{\pi H (R^3 - r^3) }{3 (R - r)} =
\frac{1}{3} \pi H (\frac{ R^3 }{R - r} - \frac{r^3}{R - r}) =
\frac{1}{3} \pi R^3 \frac{H}{R - r} - \frac{1}{3} \pi \frac{H r^3}{R - r}}\)
-
JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Jak obliczyć objętość?
W dwóch postach
Odpowiedź porządkuje się jeszcze do postaci, która jest w tablicach
\(\displaystyle{ V={1\over 3}\pi\left(R^2+Rr+r^2\right)H}\)
Pozdrawiam
Obydwie metody są w takim razie równoważne!smiechowiec pisze: \(\displaystyle{ V =\frac{1}{3} \pi R^3 \frac{H}{R - r} - \frac{1}{3} \pi \frac{H r^3}{R - r}}\)
Odpowiedź porządkuje się jeszcze do postaci, która jest w tablicach
\(\displaystyle{ V={1\over 3}\pi\left(R^2+Rr+r^2\right)H}\)
Pozdrawiam