Witam! Mam problem z zadaniem optymalizacyjnym z zastosowaniem pochodnej w stereometrii
Treść:
"Oblicz stosunek promienia R podstawy do wysokości H walca mającego przy danej objętości V najmniejszą powierzchnię całkowitą P"
Moje obliczenia
\(\displaystyle{ V= \pi r ^{2} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{V}{ \pi r ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ Pc=2 \pi r (r+\frac{V}{\pi r^2})}\)
Po przekształceniach mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r ^{3} + 2V}{r}}\)
\(\displaystyle{ (Pc)'= \frac{6 \pi r ^{2} +2}{1}}\)
Warunek konieczny:
\(\displaystyle{ 2(3 \pi r ^{2} +1) =0}\)
\(\displaystyle{ r ^{2} =- \frac{1}{3 \pi }}\)
I teraz już zupełnie nie wiem co dalej zrobić i czy dobrze robiłem. Wychodzi mi że r do kwadratu jest na minusie co jest sprzeczne z założeniami zadania.Nawet jakbym miał jakiś sensowny wynik to za bardzo nie wiem co dalej mogę zdziałać by rozwiązać zadanie.
Stosunek promienia do wysokości w walcu
-
Kaczmarsky
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 1 raz
-
Kaczmarsky
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 1 raz
Stosunek promienia do wysokości w walcu
Taka będzie postać?
\(\displaystyle{ (Pc)'=- \frac{2 \pi r ^{3} + 2V}{r ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ (Pc)'=- \frac{2 \pi r ^{3} + 2V}{r ^{2} }}\)
-
Kaczmarsky
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 1 raz
Stosunek promienia do wysokości w walcu
Moje dalsze obliczenia (co do pochodnej to trzeba było zastosować wzór \(\displaystyle{ \left( \frac{f}{g} \right) '}\) - na przyszłość będę pamiętał).
w.k.
\(\displaystyle{ \frac{4 \pi R ^{3} -2V}{R ^{2} } =0}\) obustronnie mnożę o \(\displaystyle{ R ^{2}}\)
\(\displaystyle{ {4 \pi R ^{3} } =2V}\) obustronnie dzielę przez \(\displaystyle{ 4 \pi}\)
\(\displaystyle{ R ^{3} = \frac{V}{2 \pi } \Rightarrow R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }}\)To będzie moje minimum i funkcja będzie rosnąca dla przedziału \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }, \infty \right)}\)
Teraz podstawiam pod zależność \(\displaystyle{ \frac{R}{H}= \frac{\sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }}{ \frac{V}{ \pi \cdot \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }} }=\frac{\pi \cdot \frac{V}{2 \pi } }{V} \Rightarrow \frac{V}{2} \cdot \frac{1}{V} = \frac{1}{2}}\)
Wynik wydaje się być okej ale nie jestem pewien.
w.k.
\(\displaystyle{ \frac{4 \pi R ^{3} -2V}{R ^{2} } =0}\) obustronnie mnożę o \(\displaystyle{ R ^{2}}\)
\(\displaystyle{ {4 \pi R ^{3} } =2V}\) obustronnie dzielę przez \(\displaystyle{ 4 \pi}\)
\(\displaystyle{ R ^{3} = \frac{V}{2 \pi } \Rightarrow R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }}\)To będzie moje minimum i funkcja będzie rosnąca dla przedziału \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }, \infty \right)}\)
Teraz podstawiam pod zależność \(\displaystyle{ \frac{R}{H}= \frac{\sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }}{ \frac{V}{ \pi \cdot \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }} }=\frac{\pi \cdot \frac{V}{2 \pi } }{V} \Rightarrow \frac{V}{2} \cdot \frac{1}{V} = \frac{1}{2}}\)
Wynik wydaje się być okej ale nie jestem pewien.