Oblicz objętość i pole pow. całkowitej ostrosłupa?

[donquixote]

Mam takie zadanko i nie wiem je zrobić

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości \(\displaystyle{ a}\) i kącie ostrym \(\displaystyle{ \beta}\) Każdy z kątów dwuściennych przy podstawie ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

[macik1423]

Pole podstawy można policzyć ze wzoru \(\displaystyle{ P=a\cdot a \cdot \sin\beta}\)
Wysokość ostrosłupa można znaleźć z tangensa.

[donquixote]

Naprowadzisz mnie jakoś na wysokość? bo nie bardzo wiem jak to zrobić?

[macik1423]

Narysuj sobie osobno trójkąt prostokątny którego boki składają się z przyprostokątnej (wysokość ostrosłupa), drugiej przyprostokątnej (połowa długości boku rombu), przeciwprostokątna (wysokość ściany bocznej). Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest zaznaczony na rysunku na zielono.

[donquixote]

nie wiem dalej ;

[macik1423]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/3Dbv/

[donquixote]

wiec tg to \(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{a}{2} }}\) ?

[macik1423]

tak

[donquixote]

ok, duże H już mam, a wysokość rombu do pola powierzchni? \(\displaystyle{ H = \frac{atg}{2}}\)

[macik1423]

We wzorze na \(\displaystyle{ H}\) w tangensie musisz napisać kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ H=\tg\alpha \cdot\frac{a}{2}}\)
Pole podstawy czyli rombu możesz policzyć ze wzoru który podałem na początku czyli:
\(\displaystyle{ P_{p}=a^{2}\cdot \sin\beta}\)

[donquixote]

Ok, to mam a pole boczne?

[macik1423]

Zrobiłem błąd. Błędny jest rysunek. Tak to powinno wyglądać:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/3DdX/

Jeśli kąty równej miary tworzą z podstawą ściany boczne, to spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w podstawę.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P=a^{2}\cdot \sin\beta}\)

\(\displaystyle{ h-\text{wysokość podstawy}}\)

\(\displaystyle{ r-\text{promień okręgu wpisanego w romb}}\)

\(\displaystyle{ h=2r}\)

\(\displaystyle{ P=a\cdot h}\)

\(\displaystyle{ a\cdot h=2r}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{a}=\sin\beta}\)

\(\displaystyle{ h=a \sin\beta}\)

\(\displaystyle{ a \sin\beta=2r}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{a \sin\beta}{2}}\)

\(\displaystyle{ H-\text{wysokość ostrosłupa}}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{r}=\tg \alpha}\)

\(\displaystyle{ H=r\cdot \tg\alpha=\frac{a \sin\beta}{2}\cdot \tg\alpha}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^{2}\sin\beta \cdot \frac{a \sin\beta}{2}\cdot \tg\alpha}\)

\(\displaystyle{ h_{1}-\text{wysokość ściany bocznej}}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{h_{1}}=\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ h_{1}=\frac{\frac{a \sin\beta}{2}\cdot \tg\alpha}{\sin \alpha}}\)

\(\displaystyle{ P_{pc}=P_{p}+4\cdot P_{b}=a^{2}\cdot \sin\beta +4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{1}=a^{2}\cdot \sin\beta +4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{\frac{a \sin\beta}{2}\cdot \tg\alpha}{\sin \alpha}}\)