Nierówność między kątami w czworościanie

[matmatmm]

Mam pewną hipotezę związaną z tym zadaniem 394493.htm. MIanowicie:

Jeśli \(\displaystyle{ ABCS}\) jest czworościanem, to \(\displaystyle{ \left|\angle ASC \right|<\left|\angle ASB \right| +\left| \angle BSC\right|}\)

Wie ktoś, jak udowodnić albo obalić?

-- 1 paź 2015, o 10:35 --

Zgodnie z tym co piszą tutaj

Kod: Zaznacz cały

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/stereometria/2013/11/30/Katy_trojscienne/

jest to warunek wystarczający, więc podejrzewam, że też konieczny.

[Michalinho]

Wpiszmy sferę w ten czworościan, niech \(\displaystyle{ D, E, F}\) będą punktami styczności tej sfery odpowiednio z \(\displaystyle{ ACS, ABS, BCS}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ |\angle ASC|=|\angle ASD|+|\angle CSD|}\)
\(\displaystyle{ |\angle ASB|=|\angle ASE|+|\angle BSE|}\)
\(\displaystyle{ |\angle BSC|=|\angle BSF|+|\angle CSF|}\)
Na podstawie najmocniejszego twierdzenia stereometrii:
\(\displaystyle{ |\angle ASD|=|\angle ASE| \wedge |\angle CSD|=|\angle CSF|}\). Stąd:
\(\displaystyle{ |\angle ASB|+|\angle BSC|=|\angle ASD|+|\angle BSE|+|\angle BSF|+|\angle CSD|=|\angle ASC|+|\angle BSE|+|\angle BSF|>|\angle ASC|}\)