prostopadłościan prostopadłość

[wielkireturner]

Niech dany będzie prostopadłościan \(\displaystyle{ ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}\). Rzutami prostokątnymi wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) na proste \(\displaystyle{ A_{1} D, A_{1} C}\) są odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E,F}\). Udowodnić lub poprawić literówki:
a) prosta \(\displaystyle{ AE}\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ A_{1} DC}\).
b) prosta \(\displaystyle{ EF}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ A_{1} C}\).

[SlotaWoj]

a)

Niech punkt \(\displaystyle{ G}\) będzie rzutem prostokątnym wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ B_1C}\).

• \(\displaystyle{ \overline{EG}\parallel\overline{AB}}\) – bo prostopadłościan,
  \(\displaystyle{ \overline{AE}\perp\overline{AB}\Rightarrow\overline{AE}\perp\overline{EG}}\) – prostopadłość do równoległych prostych,
  \(\displaystyle{ \overline{AE}\perp\overline{A_1D}\wedge\overline{AE}\perp\overline{EG}\Rightarrow\overline{AE}\perp\pi_{\mathop{}_{A_1EG}}}\) – prostopadłość do prostych przecinających się w punkcie \(\displaystyle{ E}\),
  \(\displaystyle{ \pi_{\mathop{}_{A_1EG}}=\pi_{\mathop{}_{A_1DC}}\Rightarrow\overline{AE}\perp\pi_{\mathop{}_{A_1DC}}}\).

b)

• \(\displaystyle{ \overline{A_1C}\perp\pi{\mathop{}_{AEF}\Rightarrow\overline{EF}\perp\overline{A_1C}}\)