czworościan wysokości promień sfery wpisanej

[wielkireturner]

Udowodnić, że w czworościanie zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{1}^{4} \frac{1}{h_{i}}= \frac{1}{r}}\).

[a4karo]

Objętość czworościanu można obliczyć tak: \(\displaystyle{ V=h_iS_i/3}\). A można też tak, że podzieli się go na cztery czworościany, których wspólnym wierzchołkiem jest środek okręgu wpisanego i doda ich objętości. Co z tego wyniknie?

[wielkireturner]

Objętość czworościanu można obliczyć tak: \(\displaystyle{ V=h_iS_i/3}\). A można też tak, że podzieli się go na cztery czworościany, których wspólnym wierzchołkiem jest środek okręgu wpisanego i doda ich objętości. Co z tego wyniknie?

Wyniknie z tego, że, by teza była prawdziwa, musi zachodzić \(\displaystyle{ \sum_{}^{} h_{i} \sum_{}^{} S_{i} = 4 \sum_{}^{} h_{i} S_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ h_{i}}\) to wysokości czworościanu, \(\displaystyle{ S_{i}}\)pola odpowiednich ścian. To coś mi daje?

[a4karo]

A jakie sa wysokośći każdego z tych czterech ostrosłupów?

[wielkireturner]

A jakie sa wysokośći każdego z tych czterech ostrosłupów?

Wysokości tych czterech ostrosłupów zdają się równe promieniowi sfery wpisanej.

[a4karo]

No to teraz pomyśl