Równoległość płaszczyzn

[Dario1]

Wykaż, że jeśli prosta \(\displaystyle{ l}\) równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\) równoległa do \(\displaystyle{ \beta}\) to \(\displaystyle{ l}\) równoległa do \(\displaystyle{ \beta}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ k}\) prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ l}\). Prosta ta będzie również prostopadła do \(\displaystyle{ \alpha}\), bo \(\displaystyle{ \alpha}\) równoległe do \(\displaystyle{ l}\), a zatem i na podobnej zasadzie prostopadła do \(\displaystyle{ \beta}\). Stąd kąty naprzemianległe między prostymi \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są proste zatem prosta \(\displaystyle{ l}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \beta}\).

[SlotaWoj]

Tylko jedna prosta prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l}\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \alpha}\) równoległej do \(\displaystyle{ l}\).

Czyli powinno być tak:

• Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ k}\) prostopadłą do płaszczyzny \(\displaystyle{ \alpha}\). Prosta ta będzie również prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l}\), bo \(\displaystyle{ l}\) jest równoległa do \(\displaystyle{ \alpha}\), ...

[Dario1]

Zależało mi na tym, aby prosta k była prostopadła do l i jednocześnie do alfa. Takich prostych jest nieskończenie wiele.

[SlotaWoj]

Prostych prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ l}\) jest nieskończenie wiele ale jeśli \(\displaystyle{ l}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \alpha}\), to tylko jedna z tych prostych prostopadłych do \(\displaystyle{ l}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ \alpha}\).