Udowodnić, że przez każde \(\displaystyle{ 2}\) punkty leżące wewnątrz wielościanu wypukłego można poprowadzić płaszczyznę dzielącą go na \(\displaystyle{ 2}\) wielościany o równych objętościach.
Poprowadźmy przez te dwa punkty prostą \(\displaystyle{ l}\). Poprowadźmy pewną płaszczyznę przechodzącą przez \(\displaystyle{ l}\). Pokolorujmy dwie strony na które dzieli ta płaszczyzna przestrzeń odpowiednio na niebiesko i zielono. Teraz rozważmy funkcje \(\displaystyle{ f: \left\langle 0,2\pi) \rightarrow R}\). Jej argumentem jest kąt o który obracam płaszczyznę względem prostej \(\displaystyle{ l}\)(kolorowania przestrzeni również obracam), a wartością jest objętość niebieskiej części wielościanu minus objętość zielonej części wielościanu. Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(\pi)=-f(0)}\), bo po obrocie o \(\displaystyle{ \pi}\) płaszczyzna przechodzi na siebie, ale dwie strony płaszczyzny się zamieniają, czyli niebieska część staje się zielona i na odwrót. Wydaje mi się, że ta funkcja jest ciągła, więc z własności Darboux funkcja gdzieś przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) ( \(\displaystyle{ f(\pi), f(0)}\) są przeciwnych znaków chyba, że są zerami).