ostrosłup czworokątny, środek ciężkości

[wielkireturner]

W ostrosłupie czworokątnym środki krawędzi podstawy połączono odcinkami ze środkami ciężkości przeciwległych ścian. Udowodnić, że odcinki te przecinają się w jednym punkcie w stosunku \(\displaystyle{ 2:3}\).

edit: To, że dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ 2:3}\) jest oczywiste, jeśli przyjąć, że środek ciężkości to \(\displaystyle{ 3m}\), a środek krawędzi \(\displaystyle{ 2m}\), aczkolwiek wciąż nie jestem przekonany co do tego, że wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) odcinki przecinają się w jednym punkcie.

[marcin7Cd]

Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Oznaczmy ten ostrosłup jako \(\displaystyle{ ABCDS}\) , gdzie \(\displaystyle{ ABCD}\) to podstawa. Rozważmy punkty jako zestaw trzech współrzędnych. Dodając punkty dodajemy współrzędne. mnożąc przez liczbę punkt, mnożę przez liczbę wszystkie jego współrzędne. Rozważmy punkt leżący w stosunku \(\displaystyle{ 2:3}\) na odcinku łączącym środek boku \(\displaystyle{ AB}\) i środek ciężkości \(\displaystyle{ CSD}\). Ten punkt można określić jako \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot \frac{A+B}{2}+ 3 \cdot \frac{C+D+S}{3}}{5}=\frac{A+B+C+D+S}{5}}\). Widać, że ten punkt to środek ciężkości ostrosłupa. Rozumując analogicznie otrzymuje, że każdy z odcinków z tezy przecina się na środku ciężkości ostrosłupa

[Michalinho]

Ostrosłup czworokątny ma jeden środek ciężkości i to jest ten punkt przecięcia.