czworościan foremny, rzut prostokątny
-
- Użytkownik
- Posty: 403
- Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: London ChinaTown
- Podziękował: 151 razy
- Pomógł: 4 razy
czworościan foremny, rzut prostokątny
W czworościanie foremnym \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ AB}\), punkt \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ DM}\). Niech \(\displaystyle{ F ^ { \prime }}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ F}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ BCD}\), \(\displaystyle{ O}\) - środkiem trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ BCD}\) Dlaczego wówczas punkt \(\displaystyle{ F ^{ \prime }}\) jet środkiem odcinka \(\displaystyle{ BO}\)?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
czworościan foremny, rzut prostokątny
Niech środek DC to punkt G.
W przekroju ABG wszystko widać. F spada na BG dając F'. (i dodałbym rzut A na BG dający A').
Łatwo wyliczysz że \(\displaystyle{ \left| BA'\right|= \frac{1}{3} \left| AB\right| \sqrt{3}}\), a \(\displaystyle{ \left| BF'\right|= \frac{1}{2} \left| BA'\right| =\frac{1}{6} \left| AB\right|\sqrt{3}}\).
Dodatkowo \(\displaystyle{ \left| BO\right|= \frac{2}{3} \frac{\left| AB\right| \sqrt{3} }{2}=\frac{1}{3} \left| AB\right|\sqrt{3}}\)
Oczywiście, stwierdzając na początku że A' to punkt O, to z tw. Talesa (lub podobieństwa trójkątów) od razu dostajesz tezę zadania.
Ps. Punkty M i E są zupełnie zbędne do rozwiązania zadania (przy tej treści).
W przekroju ABG wszystko widać. F spada na BG dając F'. (i dodałbym rzut A na BG dający A').
Łatwo wyliczysz że \(\displaystyle{ \left| BA'\right|= \frac{1}{3} \left| AB\right| \sqrt{3}}\), a \(\displaystyle{ \left| BF'\right|= \frac{1}{2} \left| BA'\right| =\frac{1}{6} \left| AB\right|\sqrt{3}}\).
Dodatkowo \(\displaystyle{ \left| BO\right|= \frac{2}{3} \frac{\left| AB\right| \sqrt{3} }{2}=\frac{1}{3} \left| AB\right|\sqrt{3}}\)
Oczywiście, stwierdzając na początku że A' to punkt O, to z tw. Talesa (lub podobieństwa trójkątów) od razu dostajesz tezę zadania.
Ps. Punkty M i E są zupełnie zbędne do rozwiązania zadania (przy tej treści).