czworościan foremny, rzut prostokątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

czworościan foremny, rzut prostokątny

Post autor: wielkireturner »

W czworościanie foremnym \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ AB}\), punkt \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ DM}\). Niech \(\displaystyle{ F ^ { \prime }}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ F}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ BCD}\), \(\displaystyle{ O}\) - środkiem trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ BCD}\) Dlaczego wówczas punkt \(\displaystyle{ F ^{ \prime }}\) jet środkiem odcinka \(\displaystyle{ BO}\)?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

czworościan foremny, rzut prostokątny

Post autor: kerajs »

Niech środek DC to punkt G.
W przekroju ABG wszystko widać. F spada na BG dając F'. (i dodałbym rzut A na BG dający A').
Łatwo wyliczysz że \(\displaystyle{ \left| BA'\right|= \frac{1}{3} \left| AB\right| \sqrt{3}}\), a \(\displaystyle{ \left| BF'\right|= \frac{1}{2} \left| BA'\right| =\frac{1}{6} \left| AB\right|\sqrt{3}}\).
Dodatkowo \(\displaystyle{ \left| BO\right|= \frac{2}{3} \frac{\left| AB\right| \sqrt{3} }{2}=\frac{1}{3} \left| AB\right|\sqrt{3}}\)

Oczywiście, stwierdzając na początku że A' to punkt O, to z tw. Talesa (lub podobieństwa trójkątów) od razu dostajesz tezę zadania.

Ps. Punkty M i E są zupełnie zbędne do rozwiązania zadania (przy tej treści).
ODPOWIEDZ