punkt P położony wewnątrz czworościanu

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

punkt P położony wewnątrz czworościanu

Post autor: wielkireturner »

Niech punkt \(\displaystyle{ P}\) leży wewnątrz czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle APB + \angle BPC + \angle CPA + \angle APD + \angle BPD + \angle CPD > 540^{o}}\)

Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ \angle APB + \angle BPC + \angle CPD + \angle DPA > 360^{o}}\).

Zatem według tezy musi zachodzić \(\displaystyle{ \angle CPA + \angle BPD > 180 ^ {o}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ 2( \angle BPD + \angle CPA ) > 360 ^{o} \\ \angle BPD + \angle CPA - \angle PDB - \angle PBD - \angle PCA - \angle PAC > 0}\)
a to nie jest spełnione na mocy nierówności trójkąta. Co zrobiłem źle?
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

punkt P położony wewnątrz czworościanu

Post autor: bakala12 »

Zatem według tezy musi zachodzić \(\displaystyle{ \angle CPA + \angle BPD > 180 ^ {o}}\).
Takie rozumowanie przechodzi często w matematyce, że najpierw wykazujemy jakiś kawałek, a potem pokazujemy to co zostało. Ale niestety nie w nierównościach, a na pewno nie w taki sposób jak Ty zrobiłeś.
Pokazuję Ci gdzie tkwi Twój błąd:
Weźmy nierówność:
\(\displaystyle{ 12+5>13}\)
Przypuśćmy że pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ 12>6}\). Więc do pokazania tezy pozostało do pokazania, że \(\displaystyle{ 5>7}\), a to ewidentnie nieprawda. I w żadnym stopniu nie psuje to tezy która jest ewidentnie prawdziwa. Świadczy to tylko o tym że oszacowanie \(\displaystyle{ 12>6}\) było po prostu zbyt słabe. Tak samo jest u Ciebie. Nie wyszło, bo pierwsza nierówność jest zbyt słabym oszacowaniem.
ODPOWIEDZ